(3,0) Um circuito trifásico equilibrado tem as seguintes características:
  • Está ligado em Y-Y;
  • A tensão de linha na fonte, V_{ab} =190,53 \angle-60^{\circ} V;
  • A sequência de fases é positiva;
  • A impedância de linha é 3+\mathrm{j} 2 \Omega / fase;
  • A impedância de carga é 37+\mathrm{j} 28 \Omega / fase .
    a) Desenhe o circuito monofásico equivalente para a fase a.
    b) Calcule as correntes de linha.
    c) Calcule as tensões de linha na carga.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas listadas abaixo.
Dados fornecidos:
  • Ligação: Y–Y (fonte em Y e carga em Y), balanceado.
  • Tensão de linha na fonte: V_{ab}=190,53\angle -60^\circ\\ \text{V}.
  • Sequência de fases: positiva.
  • Impedância de linha por fase: Z_{\ell}=3+\mathrm{j}2\\ \Omega.
  • Impedância de carga por fase: Z_{c}=37+\mathrm{j}28\\ \Omega.
Perguntas do enunciado:
a) Desenhar (descrever) o circuito monofásico equivalente para a fase a.
b) Calcular as correntes de linha (isto é, as correntes por fase: I_a,I_b,I_c).
c) Calcular as tensões de linha na carga (isto é, as tensões linha–linha nos terminais da carga).
Observação importante: vou trabalhar com fasores e relações padrão entre tensões de fase e de linha num sistema trifásico equilibrado com sequência positiva. A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Encontrar a tensão de fase na fonte \,V_{an}\, a partir de \,V_{ab}\,.
Conceito usado (explicado): num sistema trifásico balanceado com sequência positiva as tensões linha–linha têm módulo \sqrt{3} vezes o módulo das tensões de fase (linha–neutro) e um deslocamento de +30^\circ. Matematicamente, se V_{an} é a tensão de fase (linha–neutro) então
V_{ab}=\sqrt{3}\,V_{an}\angle +30^\circ.
Dessa relação segue
V_{an}=\frac{V_{ab}}{\sqrt{3}}\angle -30^\circ.
Aplicando ao dado V_{ab}=190,53\angle -60^\circ\\ \text{V}:
V_{an}=\frac{190{,}53\angle -60^\circ}{\sqrt{3}}\angle -30^\circ =\frac{190{,}53}{1{,}732}\angle(-60^\circ-30^\circ).
Cálculo numérico:
\frac{190{,}53}{1{,}732}\approx 110{,}0,
logo
V_{an}=110{,}0\angle -90^\circ\\ \text{V}.

Passo 3

Descrever o circuito monofásico equivalente da fase a.
Explicação didática: num sistema Y–Y equilibrado cada fase pode ser analisada separadamente. Para a fase a o circuito equivalente é uma fonte de tensão faseada \,V_{an}\, (linha–neutro da fonte) em série com a impedância de linha \,Z_{\ell}\, e em seguida a impedância da carga \,Z_{c}\, ligada ao neutro da carga (neutros podem estar referenciados iguais no caso balanceado). Portanto o esquema é:
Fonte: \,V_{an}=110{,}0\angle -90^\circ\\ \text{V}\, — em série com — \,Z_{\ell}=3+\mathrm{j}2\\ \Omega\, — em série com — \,Z_{c}=37+\mathrm{j}28\\ \Omega\, — ao neutro.
(Isto responde o item a) descrevendo completamente o circuito monofásico equivalente da fase a.)

Passo 4

Calcular a impedância total por fase e explicar como obter módulo e ângulo.
Somando as impedâncias em série:
Z_{\text{tot}}=Z_{\ell}+Z_{c}=(3+\mathrm{j}2)+(37+\mathrm{j}28)=40+\mathrm{j}30\\ \Omega.
Para trabalhar com fasores convém obter módulo e ângulo:
|Z_{\text{tot}}|=\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50\\ \Omega,
\angle Z_{\text{tot}}=\arctan\!\left(\frac{30}{40}\right)=\arctan(0{,}75)\approx 36{,}87^\circ.
Portanto
Z_{\text{tot}}=50\angle 36{,}87^\circ\\ \Omega.

Passo 5

Calcular a corrente da fase a: \,I_a=V_{an}/Z_{\text{tot}}\,. Explicar divisão de fasores.
Regra usada: para dividir fasores em forma polar dividimos módulos e subtraímos ângulos:
I_a=\frac{V_{an}}{Z_{\text{tot}}} =\frac{110{,}0\angle -90^\circ}{50\angle 36{,}87^\circ} =\frac{110{,}0}{50}\angle(-90^\circ-36{,}87^\circ).
Cálculo numérico:
\frac{110{,}0}{50}=2{,}2,
-90^\circ-36{,}87^\circ=-126{,}87^\circ.
Logo
I_a=2{,}2\angle -126{,}87^\circ\\ \text{A}.
Como o sistema é equilibrado com sequência positiva, as correntes das outras fases são deslocamentos de -120^\circ e +120^\circ:
I_b=I_a\angle -120^\circ=2{,}2\angle(-126{,}87^\circ-120^\circ)=2{,}2\angle 113{,}13^\circ,
I_c=I_a\angle +120^\circ=2{,}2\angle(-126{,}87^\circ+120^\circ)=2{,}2\angle -6{,}87^\circ.
(Expliquei a origem dos deslocamentos: em sequência positiva cada fase é defasada de -120^\circ em relação à anterior.)

Passo 6

Calcular as tensões de fase na carga (tensão fase–neutro nos terminais da carga) e explicar duas formas de obter: por queda na linha ou por multiplicação corrente×impedância da carga.
Forma direta e mais simples: a tensão na carga de fase a é a queda em Z_c causada pela corrente I_a:
V_{a,\text{carga}}=I_a\,Z_{c}.
Primeiro calcular Z_c em forma polar:
Z_{c}=37+\mathrm{j}28,\qquad |Z_{c}|=\sqrt{37^2+28^2}=\sqrt{1369+784}=\sqrt{2153}\approx 46{,}41\\ \Omega,
\angle Z_{c}=\arctan\!\left(\frac{28}{37}\right)\approx 36{,}87^\circ,
portanto Z_{c}=46{,}41\angle 36{,}87^\circ\\ \Omega.
Multiplicando fasores (módulos multiplicam e ângulos somam):
V_{a,\text{carga}}=2{,}2\angle -126{,}87^\circ\;\times\;46{,}41\angle 36{,}87^\circ
|V_{a,\text{carga}}|=2{,}2\cdot 46{,}41\approx 102{,}10\\ \text{V},
\angle V_{a,\text{carga}}=-126{,}87^\circ+36{,}87^\circ=-90^\circ.
Logo
V_{a,\text{carga}}=102{,}10\angle -90^\circ\\ \text{V}.
Comentário de verificação (opcional): a mesma tensão pode ser obtida por V_{a,\text{carga}}=V_{an}-I_aZ_{\ell}; se fizer essa subtração de fasores obtém-se o mesmo resultado.

Passo 7

Calcular as tensões de linha na carga (tensões linha–linha nos terminais da carga) e explicar a relação com as tensões de fase.
Relação usada: em sistema trifásico equilibrado a tensão linha–linha é \sqrt{3} vezes a tensão de fase e defasada +30^\circ em relação à tensão de fase correspondente. Assim, para a carga:
V_{ab,\text{carga}}=\sqrt{3}\,V_{a,\text{carga}}\angle +30^\circ.
Como V_{a,\text{carga}}=102{,}10\angle -90^\circ:
V_{ab,\text{carga}}=1{,}732\cdot 102{,}10\angle(-90^\circ+30^\circ).
Cálculo numérico:
1{,}732\cdot 102{,}10\approx 176{,}86\\ \text{V},
ângulo:
-90^\circ+30^\circ=-60^\circ.
Portanto
V_{ab,\text{carga}}=176{,}86\angle -60^\circ\\ \text{V}.
Como o sistema é equilibrado, as outras tensões de linha na carga são as rotações de -120^\circ:
V_{bc,\text{carga}}=176{,}86\angle -180^\circ,
V_{ca,\text{carga}}=176{,}86\angle 60^\circ.

Resposta

a) Circuito monofásico equivalente da fase a: fonte V_{an}=110{,}0\angle -90^\circ\\ \text{V} em série com Z_{\ell}=3+\mathrm{j}2\\ \Omega e em série com Z_{c}=37+\mathrm{j}28\\ \Omega (neutros referenciados).
b) Correntes de linha:
I_a=2{,}2\angle -126{,}87^\circ\\ \text{A}
I_b=2{,}2\angle 113{,}13^\circ\\ \text{A}
I_c=2{,}2\angle -6{,}87^\circ\\ \text{A}
c) Tensões de linha na carga (linha–linha):
V_{ab,\text{carga}}=176{,}86\angle -60^\circ\\ \text{V}
V_{bc,\text{carga}}=176{,}86\angle -180^\circ\\ \text{V}
V_{ca,\text{carga}}=176{,}86\angle 60^\circ\\ \text{V}

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