Uma tensão senoidal:
É aplicada sobre um capacitor de capacitância igual a
. Pede-se:
a) Calcule a impedância na forma complexa polar.
b) Calcule a corrente elétrica na forma complexa polar.
c) Represente a expressão matemática da tensão e da corrente em função do tempo.
d) Esboce a forma de onda da tensão e da corrente, indicado seus valores de pico
e
e o ângulo de defasagem entre tensão e corrente
.
e) Esboce o diagrama fasorial da tensão e da corrente.
f) Calcule as potências ativa § e reativa (Q).
a) Calcule a impedância na forma complexa polar.
b) Calcule a corrente elétrica na forma complexa polar.
c) Represente a expressão matemática da tensão e da corrente em função do tempo.
d) Esboce a forma de onda da tensão e da corrente, indicado seus valores de pico
e) Esboce o diagrama fasorial da tensão e da corrente.
f) Calcule as potências ativa § e reativa (Q).
Passo 1
O enunciado dá uma tensão senoidal em forma fasorial e pede várias coisas. Vamos listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido:
Dados fornecidos:
- A tensão fasorial (rms) é
. - A frequência é
. - A capacitância é
(ou seja, ).
O que o enunciado pede:
a) Calcular a impedância do capacitor na forma complexa polar.
b) Calcular a corrente elétrica na forma complexa polar (rms).
c) Escrever as expressões temporais e
.
d) Esboçar as formas de onda da tensão e da corrente, indicando valores de pico e
e ângulo de defasagem
.
e) Esboçar o diagrama fasorial da tensão e da corrente.
f) Calcular as potências ativa e reativa
.
a) Calcular a impedância do capacitor na forma complexa polar.
b) Calcular a corrente elétrica na forma complexa polar (rms).
c) Escrever as expressões temporais
d) Esboçar as formas de onda da tensão e da corrente, indicando valores de pico
e) Esboçar o diagrama fasorial da tensão e da corrente.
f) Calcular as potências ativa
Passo 2
Conceito e fórmula para a impedância de um capacitor — aula rápida e prática:
- Em regime senoidal, a impedância do capacitor é dada por
onde:
-
é a pulsação em rad/s, ; -
é a capacitância em farads; -
é a unidade imaginária ( ). - Interpretação:
é igual a , por isso costuma-se escrever
- Em forma polar isso corresponde a um módulo
e ângulo (porque multiplicar por rota o fasor em ).
Vamos calcular
e
numericamente:
Portanto, a impedância em forma polar é
Passo 3
Cálculo da corrente fasorial — fórmula e interpretação:
- A lei de Ohm em fasores diz
. - Temos
e . - Dividindo magnitudes e subtraindo ângulos:
Logo o fasor da corrente (em rms) é
Dica didática: quando dividir um fasor pelo outro, pense em dividir os módulos e subtrair os ângulos — é igualzinho a dividir números complexos em forma polar.
Passo 4
De rms para forma temporal (passo-a-passo e conceito):
- A relação entre valor de pico
e valor rms para uma senóide é
Mesma relação vale para a corrente:
.
- A forma temporal em coseno correspondente a um fasor
é
onde
está em radianos ou graus (mantemos graus para consistência com os dados).
Calculemos os picos:
As expressões temporais (usando
) são então
Lembrete didático: o ângulo no cosseno é exatamente o ângulo do fasor; conservar o mesmo sinal.
Passo 5
Análise da defasagem e interpretação física (sobre quem lidera/atrasa):
- O ângulo da corrente é
enquanto o da tensão é . A diferença . - Em um capacitor ideal a corrente antecipa a tensão por
. Aqui confirmamos: a corrente lidera a tensão por .
Passo 6
Esboço das formas de onda (descrição para fazer no caderno):
- A tensão
é uma senoide com pico , passando por seu máximo em um instante quando . - A corrente
é uma senoide com pico , deslocada para a esquerda (adiantada) em relação à tensão por . Em termos de tempo, uma defasagem angular de a corresponde a um deslocamento temporal de
- Ao desenhar: trace duas senoides com mesma frequência; torne a corrente com amplitude menor (
) e deslocada para a esquerda em em relação ao pico da tensão.
Passo 7
Esboço do diagrama fasorial (descrição para o caderno):
- No diagrama fasorial, desenhe um eixo complexo: eixo real horizontal e eixo imaginário vertical.
- Coloque o fasor tensão
: é um vetor de magnitude 127 com direção abaixo do eixo real. - Coloque o fasor corrente
: é um vetor de magnitude com direção acima do eixo real. - A separação angular entre eles é
(corrente acima, tensão abaixo), consistente com capacitor ideal.
Passo 8
Cálculo das potências ativa e reativa — teoria rápida:
- O complexo de potência é
(produto da tensão pelo conjugado da corrente), em VA. - A potência ativa
(em W). - A potência reativa
(em VAR). Sinal negativo de indica efeito capacitivo (potência reativa absorvida é negativa).
Calculemos
:
Magnitude:
Como o ângulo é
, temos
Portanto:
Interpretação: potência ativa nula (não há dissipação em um capacitor ideal), potência reativa negativa (capacitivo) com magnitude aproximadamente
.
Resposta
a)
.
b) .
c) \quad e \quad
.
d) corrente lidera a tensão por
.
e) Diagrama fasorial: (para baixo de
) e
(para cima de
), separação angular
.
f) (sinal negativo indicando reatividade capacitiva).
b)
c)
d)
e) Diagrama fasorial:
f)