Uma tensão senoidal:
\dot{\mathrm{V}}=127-30^{\circ} \mathrm{V}_{\mathrm{rms}} / 60 \mathrm{~Hz}
É aplicada sobre um capacitor de capacitância igual a 100 \mu \mathrm{~F}. Pede-se:
a) Calcule a impedância na forma complexa polar.
b) Calcule a corrente elétrica na forma complexa polar.
c) Represente a expressão matemática da tensão e da corrente em função do tempo.
d) Esboce a forma de onda da tensão e da corrente, indicado seus valores de pico \left(V_{p}\right. e \left.I_{p}\right) e o ângulo de defasagem entre tensão e corrente (\varphi).
e) Esboce o diagrama fasorial da tensão e da corrente.
f) Calcule as potências ativa § e reativa (Q).

Passo 1

O enunciado dá uma tensão senoidal em forma fasorial e pede várias coisas. Vamos listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido:
Dados fornecidos:
  • A tensão fasorial (rms) é \dot{V}=127\angle -30^\circ\\ \mathrm{V}_{\mathrm{rms}}.
  • A frequência é f=60\\ \mathrm{Hz}.
  • A capacitância é C=100\\ \mu\mathrm{F} (ou seja, C=100\times10^{-6}\\ \mathrm{F}).
O que o enunciado pede:
a) Calcular a impedância do capacitor na forma complexa polar.
b) Calcular a corrente elétrica na forma complexa polar (rms).
c) Escrever as expressões temporais v(t) e i(t).
d) Esboçar as formas de onda da tensão e da corrente, indicando valores de pico V_p e I_p e ângulo de defasagem \varphi.
e) Esboçar o diagrama fasorial da tensão e da corrente.
f) Calcular as potências ativa P e reativa Q.

Passo 2

Conceito e fórmula para a impedância de um capacitor — aula rápida e prática:
  • Em regime senoidal, a impedância do capacitor é dada por
Z_C=\frac{1}{j\omega C},
onde:
  • \omega é a pulsação em rad/s, \omega=2\pi f;
  • C é a capacitância em farads;
  • j é a unidade imaginária ( j^2=-1).
  • Interpretação: \frac{1}{j} é igual a -j, por isso costuma-se escrever
Z_C=-\mathrm{j}\,\frac{1}{\omega C}.
  • Em forma polar isso corresponde a um módulo \frac{1}{\omega C} e ângulo -90^\circ (porque multiplicar por -\mathrm{j} rota o fasor em -90^\circ).
Vamos calcular \omega e \frac{1}{\omega C} numericamente:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot 60=120\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 376{,}9911\\ \mathrm{rad/s}.
\omega C=(376{,}9911)\cdot(100\times10^{-6})=0{,}03769911\\ \mathrm{s^{-1}}.
\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{0{,}03769911}\approx 26{,}5258\\ \Omega.
Portanto, a impedância em forma polar é
Z_C=26{,}5258\angle -90^\circ\\ \Omega.

Passo 3

Cálculo da corrente fasorial — fórmula e interpretação:
  • A lei de Ohm em fasores diz \dot{I}=\dfrac{\dot{V}}{Z}.
  • Temos \dot{V}=127\angle -30^\circ\\ \mathrm{V}_{\mathrm{rms}} e Z_C=26{,}5258\angle -90^\circ\\ \Omega.
  • Dividindo magnitudes e subtraindo ângulos:
|\dot{I}|=\frac{127}{26{,}5258}\approx 4{,}7908\\ \mathrm{A}_{\mathrm{rms}},
\angle\dot{I}=-30^\circ-(-90^\circ)=60^\circ.
Logo o fasor da corrente (em rms) é
\dot{I}=4{,}7908\angle 60^\circ\\ \mathrm{A}_{\mathrm{rms}}.
Dica didática: quando dividir um fasor pelo outro, pense em dividir os módulos e subtrair os ângulos — é igualzinho a dividir números complexos em forma polar.

Passo 4

De rms para forma temporal (passo-a-passo e conceito):
  • A relação entre valor de pico V_p e valor rms V_{\mathrm{rms}} para uma senóide é
V_p=\sqrt{2}\,V_{\mathrm{rms}}.
Mesma relação vale para a corrente: I_p=\sqrt{2}\,I_{\mathrm{rms}}.
  • A forma temporal em coseno correspondente a um fasor \dot{V}=V_{\mathrm{rms}}\angle\theta_V é
v(t)=V_p\cos(\omega t+\theta_V),
onde \theta_V está em radianos ou graus (mantemos graus para consistência com os dados).
Calculemos os picos:
V_p=\sqrt{2}\cdot 127\approx 179{,}606\\ \mathrm{V},
I_p=\sqrt{2}\cdot 4{,}7908\approx 6{,}7769\\ \mathrm{A}.
As expressões temporais (usando \omega=120\pi\\ \mathrm{rad/s}) são então
v(t)=179{,}606\cos\bigl(120\pi t-30^\circ\bigr)\\ \mathrm{V},
i(t)=6{,}7769\cos\bigl(120\pi t+60^\circ\bigr)\\ \mathrm{A}.
Lembrete didático: o ângulo no cosseno é exatamente o ângulo do fasor; conservar o mesmo sinal.

Passo 5

Análise da defasagem e interpretação física (sobre quem lidera/atrasa):
  • O ângulo da corrente é +60^\circ enquanto o da tensão é -30^\circ. A diferença \varphi=\angle I-\angle V=60^\circ-(-30^\circ)=90^\circ.
  • Em um capacitor ideal a corrente antecipa a tensão por 90^\circ. Aqui confirmamos: a corrente lidera a tensão por 90^\circ.

Passo 6

Esboço das formas de onda (descrição para fazer no caderno):
  • A tensão v(t) é uma senoide com pico V_p\approx179{,}6\\ \mathrm{V}, passando por seu máximo em um instante quando 120\pi t-30^\circ=0.
  • A corrente i(t) é uma senoide com pico I_p\approx6{,}777\\ \mathrm{A}, deslocada para a esquerda (adiantada) em relação à tensão por 90^\circ. Em termos de tempo, uma defasagem angular de 90^\circ a 60\\ \mathrm{Hz} corresponde a um deslocamento temporal de
\Delta t=\frac{90^\circ}{360^\circ}\cdot\frac{1}{f}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{60}\approx 4{,}1667\\ \mathrm{ms}.
  • Ao desenhar: trace duas senoides com mesma frequência; torne a corrente com amplitude menor ( \approx6{,}78\\ \mathrm{A}) e deslocada para a esquerda em \approx4{,}17\\ \mathrm{ms} em relação ao pico da tensão.

Passo 7

Esboço do diagrama fasorial (descrição para o caderno):
  • No diagrama fasorial, desenhe um eixo complexo: eixo real horizontal e eixo imaginário vertical.
  • Coloque o fasor tensão \dot{V}=127\angle -30^\circ: é um vetor de magnitude 127 com direção 30^\circ abaixo do eixo real.
  • Coloque o fasor corrente \dot{I}=4{,}7908\angle 60^\circ: é um vetor de magnitude 4{,}7908 com direção 60^\circ acima do eixo real.
  • A separação angular entre eles é 90^\circ (corrente acima, tensão abaixo), consistente com capacitor ideal.

Passo 8

Cálculo das potências ativa e reativa — teoria rápida:
  • O complexo de potência é \displaystyle S=\dot{V}\,\dot{I}^* (produto da tensão pelo conjugado da corrente), em VA.
  • A potência ativa P=\Re(S) (em W).
  • A potência reativa Q=\Im(S) (em VAR). Sinal negativo de Q indica efeito capacitivo (potência reativa absorvida é negativa).
Calculemos S:
\dot{V}=127\angle -30^\circ,\qquad \dot{I}=4{,}7908\angle 60^\circ\Rightarrow \dot{I}^*=4{,}7908\angle -60^\circ.
S=127\cdot 4{,}7908\angle(-30^\circ-60^\circ)=127\cdot 4{,}7908\angle -90^\circ.
Magnitude:
|S|=127\cdot 4{,}7908\approx 608{,}40\\ \mathrm{VA}.
Como o ângulo é -90^\circ, temos
S=608{,}40\angle -90^\circ\\ \mathrm{VA} = 0 - \mathrm{j}\,608{,}40\\ \mathrm{VA}.
Portanto:
P=\Re(S)=0\\ \mathrm{W},
Q=\Im(S)=-608{,}40\\ \mathrm{VAR}.
Interpretação: potência ativa nula (não há dissipação em um capacitor ideal), potência reativa negativa (capacitivo) com magnitude aproximadamente 608{,}4\\ \mathrm{VAR}.

Resposta

a) Z_C=26{,}5258\angle -90^\circ\\ \Omega.
b) \dot{I}=4{,}7908\angle 60^\circ\\ \mathrm{A}_{\mathrm{rms}}.
c) v(t)=179{,}606\cos\bigl(120\pi t-30^\circ\bigr)\\ \mathrm{V} \quad e \quad i(t)=6{,}7769\cos\bigl(120\pi t+60^\circ\bigr)\\ \mathrm{A}.
d) V_p\approx 179{,}606\\ \mathrm{V},\\ I_p\approx 6{,}7769\\ \mathrm{A}, corrente lidera a tensão por \varphi=90^\circ.
e) Diagrama fasorial: \dot{V}=127\angle -30^\circ (para baixo de 0^\circ) e \dot{I}=4{,}7908\angle 60^\circ (para cima de 0^\circ), separação angular 90^\circ.
f) P=0\\ \mathrm{W},\\ Q=-608{,}40\\ \mathrm{VAR} (sinal negativo indicando reatividade capacitiva).

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