Um circuito trifásico ligação em estrela, Y, tem sequência de fase direta abc, e entre fases 440 Vca . Considerando que a fase \mathrm{V}_{\text {ba }} é -440 V e fase de -30^{\circ}, calcule: \mathrm{V}_{\text {ca }} com módulo e fase e \mathrm{V}_{\text {bn }} com módulo e fase.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tirei tudo do enunciado).
  • Dado: tensão “entre fases” (tensão de linha) de magnitude \,440\\ \text{V}\,.
  • Dado: a fasor \mathrm{V}_{\text{ba}} é -440\\ \text{V} com fase de -30^\circ. Ou seja, numericamente estamos tomando
\mathrm{V}_{\text{ba}} = -440\angle -30^\circ.
  • A sequência de fases é direta (abc).
  • O circuito é ligação em estrela ( Y), então existe um ponto neutro comum.
  • Pedidos:
    1. Calcular \mathrm{V}_{\text{ca}} (módulo e fase).
    2. Calcular \mathrm{V}_{\text{bn}} (módulo e fase).

Passo 2

Interpretação do fasor dado e primeiro passo algébrico (transformar \mathrm{V}_{\text{ba}} em \mathrm{V}_{\text{ab}}).
  • Se \mathrm{V}_{\text{ba}} é o fasor -440\angle -30^\circ, então por definição \mathrm{V}_{\text{ab}} = -\mathrm{V}_{\text{ba}}.
  • Vamos calcular \mathrm{V}_{\text{ab}}:
\mathrm{V}_{\text{ab}} = -\mathrm{V}_{\text{ba}} = -\bigl(-440\angle -30^\circ\bigr) = 440\angle -30^\circ.
Explicando em palavras: o sinal negativo aplicado duas vezes some, então \mathrm{V}_{\text{ab}} tem magnitude 440\\ \text{V} e ângulo -30^\circ.

Passo 3

Relação entre tensões de linha num sistema equilibrado sequência direta abc.
  • Em um sistema equilibrado com sequência abc as tensões de linha (entre fases) são fasores de mesma magnitude e defasados de 120^\circ entre si, seguindo a ordem
    \mathrm{V}_{\text{ab}}, \mathrm{V}_{\text{bc}}, \mathrm{V}_{\text{ca}}.
  • A cada passo na sequência para frente (ab → bc → ca) a rotação do fasor é de -120^\circ (ou equivalentemente +240°). Assim, uma forma prática é:
\mathrm{V}_{\text{bc}} = \mathrm{V}_{\text{ab}}\angle -120^\circ, \qquad \mathrm{V}_{\text{ca}} = \mathrm{V}_{\text{ab}}\angle +120^\circ.
(Escolhi a forma \mathrm{V}_{\text{ca}} = \mathrm{V}_{\text{ab}}\angle +120^\circ porque facilita o cálculo direto de \mathrm{V}_{\text{ca}} a partir de \mathrm{V}_{\text{ab}}.)

Passo 4

Cálculo de \mathrm{V}_{\text{ca}} usando a relação da sequência.
  • Partimos de \mathrm{V}_{\text{ab}} = 440\angle -30^\circ.
  • Aplicando a rotação de +120^\circ:
\mathrm{V}_{\text{ca}} = 440\angle(-30^\circ + 120^\circ) = 440\angle 90^\circ.
  • Interpretação rápida: o módulo permanece 440\\ \text{V} (sistema equilibrado) e a fase resultante é 90^\circ.

Passo 5

Relação entre tensão de linha e tensão de fase em ligação estrela ( Y).
  • Em ligação estrela equilibrada existe a relação de módulos
V_{\text{linha}} = \sqrt{3}\,V_{\text{fase}}.
Aqui V_{\text{linha}} é a magnitude da tensão entre duas fases (por exemplo |\mathrm{V}_{\text{ab}}|) e V_{\text{fase}} é a magnitude da tensão fase-neutro (por exemplo |\mathrm{V}_{\text{an}}|).
  • Além do módulo, há um deslocamento angular fixo: para sequência direta abc existe a relação de fase
\mathrm{V}_{\text{ab}} = \sqrt{3}\,\mathrm{V}_{\text{an}}\angle 30^\circ.
Isto significa que a tensão de linha \mathrm{V}_{\text{ab}} está adiantada de 30^\circ em relação a \mathrm{V}_{\text{an}}. Reorganizando para \mathrm{V}_{\text{an}}:
\mathrm{V}_{\text{an}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\,\mathrm{V}_{\text{ab}}\angle -30^\circ.
  • Esta fórmula é padrão e vem da decomposição vetorial das tensões em um sistema equilibrado; ela permite obter a tensão fase-neutro a partir da tensão linha-linha correspondente.

Passo 6

Cálculo de \mathrm{V}_{\text{an}} a partir de \mathrm{V}_{\text{ab}} (para depois obter \mathrm{V}_{\text{bn}}).
  • Temos \mathrm{V}_{\text{ab}} = 440\angle -30^\circ.
  • Logo
\mathrm{V}_{\text{an}} = \dfrac{440}{\sqrt{3}}\angle(-30^\circ -30^\circ) = \dfrac{440}{\sqrt{3}}\angle -60^\circ.
  • Numérico do módulo:
\dfrac{440}{\sqrt{3}}\approx 254{,}03\\ \text{V}.
Portanto \mathrm{V}_{\text{an}} \approx 254{,}03\angle -60^\circ\\ \text{V}.

Passo 7

Obter \mathrm{V}_{\text{bn}} a partir de \mathrm{V}_{\text{an}} usando a sequência abc.
  • Em sequência direta abc temos
\mathrm{V}_{\text{bn}} = \mathrm{V}_{\text{an}}\angle -120^\circ.
Isto porque b está defasada -120^\circ em relação a a.
  • Aplicando:
\mathrm{V}_{\text{bn}} = \dfrac{440}{\sqrt{3}}\angle(-60^\circ -120^\circ) = \dfrac{440}{\sqrt{3}}\angle -180^\circ.
  • Em valores numéricos:
\mathrm{V}_{\text{bn}} \approx 254{,}03\angle -180^\circ\\ \text{V}.
Observação: o ângulo -180^\circ é equivalente a +180^\circ; ambos representam a mesma posição no plano complexo (vetor apontando para a esquerda).

Resposta

\mathrm{V}_{\text{ca}} = 440\angle 90^\circ\\ \text{V}
\mathrm{V}_{\text{bn}} \approx 254{,}03\angle -180^\circ\\ \text{V}

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