(3,0) Para um circuito trifásico a três fios, encontre as correntes de linha para uma carga balanceada conectada em Y com impedâncias de 80 \angle 25^{\circ} \Omega, se \boldsymbol{V}_{A B}=600 \angle 30^{\circ} \mathrm{V}, a sequência de fases é ACB

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as correntes de linha (que, para carga em Y, são as mesmas correntes de fase) para uma carga balanceada em Y com impedâncias \;Z=80\angle 25^\circ\\ \Omega, sabendo que a tensão de linha \boldsymbol{V}_{AB}=600\angle 30^\circ\\ \mathrm{V} e que a sequência de fases é ACB.
Informações dadas (resumindo):
Z=80\angle 25^\circ\\ \Omega,\qquad \boldsymbol{V}_{AB}=600\angle 30^\circ\\ \mathrm{V},\qquad\text{sequência ACB (negativa).}ê
O que se pede: \;I_A,\;I_B,\;I_C (correntes de linha/fase).

Passo 2

Entender a relação entre tensões de linha e tensões de fase e como a sequência afeta os ângulos.
  • Para um sistema trifásico balanceado em estrela (Y) vale a relação de magnitudes
|V_{LL}|=\sqrt{3}\,|V_{ph}|.
Ou seja, a magnitude da tensão de linha (entre duas fases) é \sqrt{3} vezes a magnitude da tensão fase-neutro.
  • Sobre os ângulos: se chamarmos \;V_{AN}=V_{ph}\angle \theta, então para sequência positiva ABC
V_{AB}=\sqrt{3}\,V_{ph}\angle(\theta+30^\circ),
enquanto para sequência negativa ACB
V_{AB}=\sqrt{3}\,V_{ph}\angle(\theta-30^\circ).
(Se quiser, dá para verificar colocando \theta=0 e calculando vetorialmente V_{A}-V_{B}; o resultado mostra a defasagem \pm 30^\circ.)
Como a sequência é ACB (negativa), temos
\angle V_{AB}=\theta-30^\circ.
Logo, se \angle V_{AB}=30^\circ então
\theta=30^\circ+30^\circ=60^\circ.
Agora a magnitude da tensão de fase é
|V_{ph}|=\frac{|V_{AB}|}{\sqrt{3}}=\frac{600}{\sqrt{3}}.
Calculemos numericamente:
\frac{600}{\sqrt{3}}\approx 346,41\\ \mathrm{V}.
Portanto as tensões de fase (fase-neutro) são
V_{AN}=346,41\angle 60^\circ\\ \mathrm{V},
para sequência ACB (negativa) as demais seguem
V_{BN}=346,41\angle 180^\circ\\ \mathrm{V},
V_{CN}=346,41\angle (-60^\circ)\\ \mathrm{V}.
(Observe: para ACB, os ângulos de B e C ficam \theta+120^\circ e \theta-120^\circ. Com \theta=60^\circ obtém-se B:180^\circ, C:-60^\circ.)

Passo 3

Como a carga é em Y, a corrente de cada fase é
I_{phase}=\frac{V_{phase}}{Z}.
Explicando a operação com números complexos em forma polar: para dividir dois números em polar \;R_1\angle\alpha por \;R_2\angle\beta fazemos
\frac{R_1\angle\alpha}{R_2\angle\beta}=\frac{R_1}{R_2}\angle(\alpha-\beta).
Aqui R_1 é a magnitude da tensão de fase, R_2 é a magnitude da impedância, \alpha é o ângulo da tensão e \beta o ângulo da impedância.
Calcule a magnitude comum das correntes:
|I|=\frac{346,41}{80}\approx 4,330\\ \mathrm{A}.
E os ângulos das correntes são \angle V_{phase}-\angle Z (subtrai-se o ângulo da impedância):
  • Para I_A:
\angle I_A=60^\circ-25^\circ=35^\circ,
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I_A=4,330\angle 35^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Para I_B:
\angle I_B=180^\circ-25^\circ=155^\circ,
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I_B=4,330\angle 155^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Para I_C:
\angle I_C=-60^\circ-25^\circ=-85^\circ,
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I_C=4,330\angle -85^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Pequena verificação e comentário didático: numa carga balanceada as magnitudes das correntes são iguais e os ângulos entre elas são de 120^\circ (respeitando a sequência). Por isso a soma fasorial I_A+I_B+I_C é zero — característica útil para conferência rápida numa prova. Aqui já vemos que as três correntes têm mesma magnitude 4,330\\ \mathrm{A} e ângulos separados aprox. por 120^\circ (35°, 155°, -85°), então estão balanceadas.

Resposta

I_A=4,330\angle 35^\circ\\ \mathrm{A}
I_B=4,330\angle 155^\circ\\ \mathrm{A}
I_C=4,330\angle -85^\circ\\ \mathrm{A}

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