(3,5) Um circuito com impedância Z=8-j 6 \Omega tem uma tensão aplicada de \boldsymbol{V}= 70,7 \angle-90^{\circ} \mathrm{V}. Determine todas as informações de potência (potência complexa, ativa, reativa, aparente e fator de potência).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as grandezas de potência:
  • Tensão fasorial aplicada: \boldsymbol{V}=70,7\angle-90^\circ\\ \mathrm{V}.
  • Impedância do circuito: Z=8-j6\\ \Omega.
Perguntas que o enunciado faz:
  • Determinar a potência complexa S.
  • Determinar a potência ativa P.
  • Determinar a potência reativa Q.
  • Determinar a potência aparente |S|.
  • Determinar o fator de potência (valor numérico e se é indutivo/atrasado ou capacitivo/adiantado).
Informações relevantes (resumindo): temos V e Z; a corrente será I=V/Z e a potência complexa pode ser obtida por S=V I^{*} ou por S=|I|^{2}Z. Vou usar esses dados sem pedir nada a mais.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a impedância em forma polar para facilitar divisão de fasores.
  • Calcule o módulo de Z:
|Z|=\sqrt{8^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10.
  • Calcule o argumento de Z (ângulo):
\angle Z=\arctan\!\left(\frac{-6}{8}\right)=-36,87^\circ.
Logo podemos escrever
Z=10\angle-36,87^\circ\\ \Omega.
Agora calculamos a corrente pelo circuito usando a relação \displaystyle I=\frac{V}{Z}. Isso é simples com forma polar: divide-se magnitudes e subtrai-se ângulos.
  • Magnitude de I:
|I|=\frac{70,7}{10}=7,07\\ \mathrm{A}.
  • Ângulo de I:
\angle I=-90^\circ-(-36,87^\circ)=-53,13^\circ.
Portanto
I=7,07\angle-53,13^\circ\\ \mathrm{A}.
Explicação didática rápida (por que fiz assim): em operações com fasores multiplicação/divisão transforma-se em soma/subtração de ângulos e multiplicação/divisão de módulos — isso facilita bastante na prova.

Passo 3

Agora calculamos a potência complexa S. A definição fundamental é
S=V\,I^{*}
onde I^{*} é o conjugado complexo da corrente (isso porque S usa a corrente conjugada para representar corretamente a potência complexa).
Temos I=7,07\angle-53,13^\circ, então
I^{*}=7,07\angle+53,13^\circ.
Multiplicando em forma polar:
S=70,7\angle-90^\circ \times 7,07\angle+53,13^\circ = (70,7\cdot 7,07)\angle(-90^\circ+53,13^\circ).
Calcule os valores:
70,7\cdot 7,07\approx 500
e
-90^\circ+53,13^\circ=-36,87^\circ.
Logo em forma polar:
S=500\angle-36,87^\circ\\ \mathrm{VA}.

Passo 4

Convertendo S para a forma retangular (parte real = potência ativa P; parte imaginária = potência reativa Q):
Usamos as relações trigonométricas:
P=\Re\{S\}=|S|\cos\varphi,\qquad Q=\Im\{S\}=|S|\sin\varphi,
onde \varphi=\angle S=-36,87^\circ.
Sabendo que \cos(-36,87^\circ)=0,8 e \sin(-36,87^\circ)=-0,6 (esses valores vêm diretamente do triângulo 6–8–10: 8/10=0,8 e 6/10=0,6, com sinal negativo por causa do ângulo negativo), temos
P=500\cdot 0,8=400\\ \mathrm{W},
Q=500\cdot(-0,6)=-300\\ \mathrm{VAR}.
Portanto em forma retangular
S=P+jQ=400-j300\\ \mathrm{VA}.
Observação didática: outra maneira rápida de verificar é usar S=|I|^{2}Z. Como |I|^{2}=(7,07)^{2}=50 e Z=8-j6,
S=50(8-j6)=400-j300,
confere com o resultado anterior.

Passo 5

Calculamos a potência aparente e o fator de potência:
  • Potência aparente:
|S|=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}=\sqrt{400^{2}+(-300)^{2}}=\sqrt{160000+90000}=\sqrt{250000}=500\\ \mathrm{VA},
o que já tínhamos em módulo.
  • Fator de potência (valor numérico):
\mathrm{pf}=\frac{P}{|S|}=\frac{400}{500}=0,8.
  • Determinar se é indutivo/atrasado (lagging) ou capacitivo/adiantado (leading): como Q=-300\\ \mathrm{VAR} (valor negativo), a reativa é de sinal negativo, o que significa que a carga é capacitiva ou o fator é adiantado (leading). Em termos práticos: tensão leva a corrente (ou corrente está avançada em relação à tensão).

Passo 6

Resumo interpretativo rápido (para você decorar na prova): quando Z tem parte imaginária negativa ( X<0), espera-se potência reativa negativa (capacitiva) e fator de potência adiantado. As contas mostraram exatamente isso: \mathrm{pf}=0,8 leading.
Força aí — você já tem todos os passos práticos e uma verificação alternativa para checar rápido na prova.

Resposta

S=400-j300\\ \mathrm{VA}
P=400\\ \mathrm{W}
Q=-300\\ \mathrm{VAR}
|S|=500\\ \mathrm{VA}
\mathrm{pf}=0,8 (leading / adiantado)

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