Para os circuitos a seguir considere os parâmetros apresentados na tabela \mathrm{e} \mathrm{v}=179,6 \cdot \operatorname{sen}(377 \mathrm{t}) \mathrm{V}. Determine o coeficiente de acoplamento entre as bobinas (1) e (2), a impedância equivalente do circuito e a corrente no formato fasorial.

\mathbf{R}_{\mathbf{1}} 5 \Omega
\mathbf{R}_{\mathbf{2}} 10 \Omega
\mathbf{L}_{\mathbf{1}} 50 mH
\mathbf{L}_{\mathbf{2}} 40 mH
\mathbf{L}_{\mathbf{3}} 20 mH
\mathbf{L}_{\mathbf{4}} 60 mH
\mathbf{M}_{\mathbf{1}} 8 mH
\mathbf{M}_{\mathbf{2}} 10 mH
\mathbf{C} 2000 \mu \mathrm{~F}

Passo 1

O enunciado pede: determinar (1) o coeficiente de acoplamento entre as bobinas (1) e (2), (2) a impedância equivalente do circuito visto pela fonte e (3) a corrente em formato fasorial.
Dados que eu extraí da tabela/imagem: \;R_{1}=5\\ \Omega,\;R_{2}=10\\ \Omega,\;L_{1}=50\\ \text{mH},\;L_{2}=40\\ \text{mH},\;L_{3}=20\\ \text{mH},\;L_{4}=60\\ \text{mH},\;M_{1}=8\\ \text{mH},\;M_{2}=10\\ \text{mH},\;C=2000\\ \mu\text{F}. A fonte é v(t)=179,6\sin(377t)\\ \text{V}.
Observação sobre a figura: os pontos (dots) nas bobinas indicam polaridade dos terminais acoplados; vou usar essa convenção para determinar se os acoplamentos nas séries são “aiding” (soma) ou “opposing” (subtração) quando calcular a indutância equivalente.

Passo 2

Calcular o coeficiente de acoplamento entre as bobinas 1 e 2.
Definição e fórmula: o coeficiente de acoplamento k entre duas bobinas é a razão entre a indutância mútua M e a raiz do produto das indutâncias próprias:
k=\frac{M}{\sqrt{L_a\,L_b}}.
Aqui usamos L_a=L_1, L_b=L_2 e M=M_1. Convertendo mH para H: L_1=0,05\\ \mathrm{H}, L_2=0,04\\ \mathrm{H}, M_1=0,008\\ \mathrm{H}. Então
k_{12}=\frac{0,008}{\sqrt{0,05\cdot0,04}}=\frac{0,008}{\sqrt{0,002}}=\frac{0,008}{0,044721\ldots}=0,1789\ldots
Arredondando:
k_{12}\approx 0,179.

Passo 3

Por completude (útil para o circuito) também calculo o coeficiente entre L_3 e L_4: L_3=0,02\\ \mathrm{H}, L_4=0,06\\ \mathrm{H}, M_2=0,01\\ \mathrm{H}.
k_{34}=\frac{0,01}{\sqrt{0,02\cdot0,06}}=\frac{0,01}{\sqrt{0,0012}}=\frac{0,01}{0,034641\ldots}=0,2887\ldots
Arredondando:
k_{34}\approx 0,289.

Passo 4

Calcular a frequência angular e as reatâncias das bobinas e do capacitor.
Frequência angular:
\omega=377\\ \text{rad/s}.
Reatâncias indutivas (cada uma):
j\omega L_1=j\cdot377\cdot0,05=j\,18{,}85\\ \Omega,
j\omega L_2=j\cdot377\cdot0,04=j\,15{,}08\\ \Omega,
j\omega L_3=j\cdot377\cdot0,02=j\,7{,}54\\ \Omega,
j\omega L_4=j\cdot377\cdot0,06=j\,22{,}62\\ \Omega.
Capacitor:
C=2000\\ \mu\text{F}=0{,}002\\ \mathrm{F},\qquad Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-\frac{j}{\omega C}=-j\frac{1}{377\cdot0{,}002}=-j\,1{,}326\\ \Omega.

Passo 5

Determinar como combinar as indutâncias acopladas em série usando a convenção dos pontos (dots). Explicação didática curta sobre a regra dos pontos: se a mesma corrente entra os terminais pontilhados (dotted) das duas bobinas, os termos mútuos somam ( +2M) na indutância equivalente em série — chamamos isso de “aiding”. Se a corrente entra o terminal pontilhado de uma bobina e o terminal não-pontilhado da outra, os termos mútuos se opõem ( -2M) — “opposing”.
Observando a figura: na ramificação superior os dois dots estão na mesma extremidade relativa ao sentido da corrente (a corrente entra ambos os terminais pontilhados), então a combinação é aiding; na ramificação inferior os dots ficam em extremidades opostas em relação ao sentido da corrente, então a combinação é opposing. Portanto:
  • Indutância equivalente do par superior L_{sup}=L_1+L_2+2M_1.
  • Indutância equivalente do par inferior L_{inf}=L_3+L_4-2M_2.

Passo 6

Calcular numericamente as indutâncias equivalentes e suas reatâncias:
L_{sup}=0,05+0,04+2\cdot0,008=0,106\\ \mathrm{H},
L_{inf}=0,02+0,06-2\cdot0,01=0,06\\ \mathrm{H}.
Reatâncias correspondentes:
j\omega L_{sup}=j\cdot377\cdot0,106=j\,39{,}962\\ \Omega\approx j\,39{,}96\\ \Omega,
j\omega L_{inf}=j\cdot377\cdot0,06=j\,22{,}62\\ \Omega.

Passo 7

Montar a impedância total vista pela fonte. O circuito é um único laço série formado por R_1,R_2,L_{sup},L_{inf} e C. Soma das resistências:
R_{\text{total}}=R_1+R_2=5+10=15\\ \Omega.
Soma das reatâncias (indutiva + capacitiva):
X_{\text{ind}}=39{,}962+22{,}62=62{,}582\\ \Omega,
X_{\text{cap}}=-1{,}326\\ \Omega,
X_{\text{total}}=62{,}582-1{,}326=61{,}256\\ \Omega.
Logo a impedância complexa equivalente:
Z_{\text{eq}}=15+j\,61{,}256\\ \Omega.
Calculo do módulo e do ângulo (úteis para a forma fasorial):
|Z|=\sqrt{15^{2}+61{,}256^{2}}=\sqrt{225+3752{,}53}\approx63{,}07\\ \Omega,
\angle Z=\arctan\!\left(\frac{61{,}256}{15}\right)\approx76{,}12^\circ.

Passo 8

Calcular a corrente fasorial. Primeiro converter a fonte para forma fasorial de valor eficaz (RMS) — padrão em engenharia: para v(t)=V_m\sin(\omega t) temos V_{\text{rms}}=\dfrac{V_m}{\sqrt{2}}. Aqui V_m=179{,}6\\ \mathrm{V}, então
V_{\text{rms}}=\frac{179{,}6}{\sqrt{2}}=127{,}0\\ \mathrm{V}\\ (\text{aprox.}).
A corrente fasorial em RMS é
\underline{I}=\frac{\underline{V}}{\underline{Z}}=\frac{127{,}0\angle0^\circ}{63{,}07\angle76{,}12^\circ} =\frac{127{,}0}{63{,}07}\angle(-76{,}12^\circ)=2{,}014\angle(-76{,}12^\circ)\\ \mathrm{A}.
Se preferir o valor em amplitude (pico) multiplica por \sqrt{2}: I_{\text{pico}}=2{,}014\sqrt{2}=2{,}848\\ \mathrm{A} com o mesmo ângulo.

Resposta

k_{12}\approx0,179
Z_{\text{eq}}=15+j\,61{,}256\\ \Omega (módulo |Z|\approx63{,}07\\ \Omega, ângulo \angle Z\approx76{,}12^\circ)
\underline{I}_{\text{rms}}=2{,}014\angle(-76{,}12^\circ)\\ \mathrm{A} (em pico: 2{,}848\angle(-76{,}12^\circ)\\ \mathrm{A}).

Exercícios relacionados