No espaço livre, \mathbf{H}=0,2 \cos (\omega t-\beta x) \mathbf{a}_{z} \mathrm{~A} / \mathrm{m}. Encontre a potência total que atravessa:
um disco circular de 5 cm de raio no plano x=1.

Passo 1

O enunciado pede a potência total que atravessa um disco circular de raio 5\\ \mathrm{cm} colocado no plano x=1. As informações dadas são:
\mathbf{H}(x,t)=0{,}2\cos(\omega t-\beta x)\,\mathbf{a}_z\\ \mathrm{A/m},
o disco tem raio r=5\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m} e está no plano x=1. Queremos a potência média que atravessa esse disco (ou seja, a potência transportada pela onda através da área do disco).

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: a potência eletromagnética que atravessa uma superfície é dada pela integral da componente normal do vetor de Poynting médio sobre a superfície. Definições importantes:
\text{vetor de Poynting instantâneo:}\quad \mathbf{S}(t)=\mathbf{E}(t)\times\mathbf{H}(t).â
\text{vetor de Poynting médio no tempo:}\quad \langle\mathbf{S}\rangle=\frac{1}{T}\int_0^T \mathbf{E}(t)\times\mathbf{H}(t)\,dt,é
onde T é o período. Para ondas harmônicas com campos reais e em fase, a média temporal de \cos^2 é \tfrac{1}{2} — usaremos isso para obter \langle\mathbf{S}\rangle. A potência total através da superfície S é
P=\iint_{S}\langle\mathbf{S}\rangle\cdot d\mathbf{A}.

Passo 3

Precisamos do campo elétrico \mathbf{E} associado à \mathbf{H}. Para uma onda plana que se propaga no sentido positivo de x (argumento \omega t-\beta x), \hat{a}_k=\hat{a}_x. Em meios sem perdas (espaço livre), os três vetores \mathbf{E},\mathbf{H},\hat{a}_k formam um triêixo direto e vale a relação
\mathbf{E}=\eta_0\bigl(\mathbf{H}\times\hat{a}_k\bigr),
onde \eta_0 é a impedância do espaço livre, \eta_0=120\pi\\ \Omega. Aplicando isso ao nosso \mathbf{H}:
\mathbf{H}(x,t)=0{,}2\cos(\omega t-\beta x)\,\mathbf{a}_z.
Como \hat{a}_k=\hat{a}_x,
\mathbf{H}\times\hat{a}_k = \mathbf{a}_z\times\mathbf{a}_x=\mathbf{a}_y.
Logo
\mathbf{E}(x,t)=\eta_0\cdot 0{,}2\cos(\omega t-\beta x)\,\mathbf{a}_y.
Podemos escrever a amplitude explicitamente:
\eta_0\cdot 0{,}2 = 120\pi \cdot 0{,}2 = 24\pi,
então
\mathbf{E}(x,t)=24\pi\cos(\omega t-\beta x)\,\mathbf{a}_y\\ \mathrm{V/m}.
Observação física: \mathbf{E} está em fase com \mathbf{H} e aponta no sentido \mathbf{a}_y, garantindo que o fluxo de energia (Poynting) esteja no sentido \mathbf{a}_x.

Passo 4

Calcule o vetor de Poynting instantâneo. Como \mathbf{E}=E_y\mathbf{a}_y e \mathbf{H}=H_z\mathbf{a}_z,
\mathbf{S}(t)=\mathbf{E}(t)\times\mathbf{H}(t)=E_y(t)H_z(t)\,\mathbf{a}_y\times\mathbf{a}_z.
E sabemos \mathbf{a}_y\times\mathbf{a}_z=\mathbf{a}_x. Como E_y(t)=\eta_0 H_z(t), fica mais simples escrever
\mathbf{S}(t)=\eta_0 H_z^2(t)\,\mathbf{a}_x.
Substituindo H_z(t)=0{,}2\cos(\omega t-\beta x),
\mathbf{S}(t)=\eta_0\bigl(0{,}2\cos(\omega t-\beta x)\bigr)^2\mathbf{a}_x =\eta_0\cdot 0{,}04\cos^2(\omega t-\beta x)\,\mathbf{a}_x.

Passo 5

Calcule o vetor de Poynting médio no tempo. Usamos \langle\cos^2(\cdot)\rangle=\tfrac{1}{2}:
\langle\mathbf{S}\rangle=\eta_0\cdot 0{,}04 \cdot \frac{1}{2}\,\mathbf{a}_x=0{,}02\,\eta_0\,\mathbf{a}_x.
Expressão numérica exata usando \eta_0=120\pi é
\langle\mathbf{S}\rangle=0{,}02\cdot 120\pi\,\mathbf{a}_x=2{,}4\pi\,\mathbf{a}_x\\ \mathrm{W/m^2}.
Esse resultado é independente de x (onda plana sem perdas): a densidade de potência média é uniforme sobre planos perpendiculares à direção de propagação.

Passo 6

Agora calculamos a potência através do disco. A área do disco é
A=\pi r^2=\pi(0{,}05)^2=\;0{,}0025\pi\\ \mathrm{m^2}.
Como \langle\mathbf{S}\rangle é uniforme sobre o disco e aponta em \mathbf{a}_x, a potência média é
P=\langle S\rangle\cdot A = \bigl(2{,}4\pi\bigr)\cdot\bigl(0{,}0025\pi\bigr)=0{,}006\pi^2\\ \mathrm{W}.

Resposta

P=0{,}05922\\ \mathrm{W} (fluxo no sentido \, \mathbf{a}_x, isto é, sentido +x).

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