Um círculo de raio 5 cm tem um triângulo equilátero de lado 5 cm desenhado dentro dele. Qual é a área hachurada entre o círculo e o triângulo? (Use \boldsymbol{\pi}=\mathbf{3 , 1 4}, \sqrt{ } \mathbf{3} \approx \mathbf{1 , 7 3} )
A) 45,2 \mathrm{~cm}^{2}
B) 48,3 \mathrm{~cm}^{2}
C) 50,1 \mathrm{~cm}^{2}
D) 52,4 \mathrm{cm}^{2}
E) 42,3 \mathrm{~cm}^{2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Dado: um círculo de raio \,5\\ \mathrm{cm}.
  • Dado: um triângulo equilátero com lado \,5\\ \mathrm{cm} está desenhado dentro do círculo.
  • Pergunta: qual é a área hachurada entre o círculo e o triângulo (ou seja, a área do círculo que não pertence ao triângulo)?
Observação importante: o enunciado está curto e pode gerar ambiguidade sobre como o triângulo está posicionado dentro do círculo. Vou, a seguir, explicar qual hipótese adotarei (a mais comum em problemas assim) e por que ela é a escolha natural para resolver a questão.

Passo 2

Decidindo o método (e justificativa da hipótese):
  • Em muitos exercícios clássicos “triângulo equilátero desenhado dentro do círculo” significa que o triângulo está inscrito no círculo, isto é, os três vértices do triângulo tocam a circunferência. Essa é a leitura mais comum quando não há figura.
  • Se o triângulo estivesse apenas colocado de qualquer jeito dentro do círculo (sem ser inscrito), a área hachurada depende da posição do triângulo e o problema não teria uma única resposta numérica natural.
  • Portanto adotarei a hipótese padrão: o triângulo equilátero está inscrito no círculo (os três vértices sobre a circunferência). Com isso podemos relacionar diretamente o lado do triângulo com o raio do círculo e calcular as áreas.

Passo 3

Fórmulas e conceitos que vamos usar (com explicação didática):
  • Área do círculo: \displaystyle A_{\text{círculo}}=\pi R^{2}í, onde \,R é o raio do círculo.
    • Aqui \,R=5\\ \mathrm{cm}.
  • Relação entre o lado \,a de um triângulo equilátero e seu raio circunscrito (circunradius) \,R:
    • Para um triângulo equilátero, o centro do círculo que passa pelos três vértices coincide com o centro de massa (circuncentro) e a distância do centro a cada vértice (o circunradius) é
    R=\frac{a}{\sqrt{3}}.
    • Essa fórmula vem da geometria do triângulo equilátero: a altura vale \,h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a, o centro está a \dfrac{2}{3}h da base desde o vértice, daí R=\dfrac{a}{\sqrt{3}}. (Se quiser, eu detalhe a demonstração.)
  • Área do triângulo equilátero de lado \,a: A_{\text{tri}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2}.
    • Aqui \sqrt{3} é a raiz quadrada de 3; o fator \dfrac{\sqrt{3}}{4} vem da expressão tradicional da área usando a altura h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a: A=\dfrac{1}{2}\,a\,h=\dfrac{1}{2}a\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}a=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}.

Passo 4

Expressar a área do triângulo em função do raio do círculo:
  • Como o triângulo está inscrito, usamos \,a=\sqrt{3}\,R.
  • Substituindo em A_{\text{tri}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2} temos:
A_{\text{tri}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\,(\sqrt{3}\,R)^{2}.
  • Calcule o quadrado:
(\sqrt{3}\,R)^{2}=3\,R^{2}.
  • Logo
A_{\text{tri}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 3\,R^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\,R^{2}.

Passo 5

Substituir R=5 nas fórmulas e calcular numericamente (usando as aproximações fornecidas \pi=3,14 e \sqrt{3}\approx 1,73):
  • Área do círculo:
A_{\text{círculo}}=\pi R^{2}=\pi\cdot 5^{2}=\pi\cdot 25.í
Usando \pi=3,14:
A_{\text{círculo}}=25\cdot 3,14=78,50\\ \mathrm{cm}^{2}.í
  • Área do triângulo (usando a expressão em função de R):
A_{\text{tri}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\,R^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot 25.
Calcule passo a passo usando \sqrt{3}\approx 1,73:
3\sqrt{3}=3\cdot 1,73=5,19.
Então
\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot 25 = \frac{5,19}{4}\cdot 25.
Primeiro \dfrac{5,19}{4}=1,2975. Multiplicando por 25:
A_{\text{tri}}=1,2975\cdot 25=32,4375\\ \mathrm{cm}^{2}.

Passo 6

Calcular a área hachurada (área do círculo que não pertence ao triângulo):
A_{\text{hachurada}}=A_{\text{círculo}}-A_{\text{tri}}.í
Substituindo os valores numéricos:
A_{\text{hachurada}}=78,50-32,4375=46,0625\\ \mathrm{cm}^{2}.
Arredondando para uma casa decimal (como as opções dadas têm uma casa decimal):
A_{\text{hachurada}}\approx 46,1\\ \mathrm{cm}^{2}.

Passo 7

Comparação com as alternativas:
  • Calculamos \approx 46,1\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • Entre as alternativas oferecidas a mais próxima do nosso resultado é a letra A) 45,2\\ \mathrm{cm}^{2}. (Nenhuma alternativa coincide exatamente com 46,1, então escolhemos a mais próxima numérica.)

Resposta

A) 45,2\\ \mathrm{cm}^{2}

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