Um círculo de raio 5 cm tem um triângulo equilátero de lado 5 cm desenhado dentro dele. Qual é a área hachurada entre o círculo e o triângulo? (Use
)
A)
B)
C)
D) 52,4
E)
A)
B)
C)
D) 52,4
E)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Dado: um círculo de raio
. - Dado: um triângulo equilátero com lado
está desenhado dentro do círculo. - Pergunta: qual é a área hachurada entre o círculo e o triângulo (ou seja, a área do círculo que não pertence ao triângulo)?
Observação importante: o enunciado está curto e pode gerar ambiguidade sobre como o triângulo está posicionado dentro do círculo. Vou, a seguir, explicar qual hipótese adotarei (a mais comum em problemas assim) e por que ela é a escolha natural para resolver a questão.
Passo 2
Decidindo o método (e justificativa da hipótese):
- Em muitos exercícios clássicos “triângulo equilátero desenhado dentro do círculo” significa que o triângulo está inscrito no círculo, isto é, os três vértices do triângulo tocam a circunferência. Essa é a leitura mais comum quando não há figura.
- Se o triângulo estivesse apenas colocado de qualquer jeito dentro do círculo (sem ser inscrito), a área hachurada depende da posição do triângulo e o problema não teria uma única resposta numérica natural.
- Portanto adotarei a hipótese padrão: o triângulo equilátero está inscrito no círculo (os três vértices sobre a circunferência). Com isso podemos relacionar diretamente o lado do triângulo com o raio do círculo e calcular as áreas.
Passo 3
Fórmulas e conceitos que vamos usar (com explicação didática):
- Área do círculo:
, onde é o raio do círculo. - Aqui
.
- Aqui
- Relação entre o lado
de um triângulo equilátero e seu raio circunscrito (circunradius) : - Para um triângulo equilátero, o centro do círculo que passa pelos três vértices coincide com o centro de massa (circuncentro) e a distância do centro a cada vértice (o circunradius) é
- Essa fórmula vem da geometria do triângulo equilátero: a altura vale
, o centro está a da base desde o vértice, daí . (Se quiser, eu detalhe a demonstração.)
- Área do triângulo equilátero de lado
: - Aqui
é a raiz quadrada de ; o fator vem da expressão tradicional da área usando a altura : .
- Aqui
Passo 4
Expressar a área do triângulo em função do raio do círculo:
- Como o triângulo está inscrito, usamos
. - Substituindo em
temos:
- Calcule o quadrado:
- Logo
Passo 5
Substituir
nas fórmulas e calcular numericamente (usando as aproximações fornecidas
e
):
- Área do círculo:
Usando
:
- Área do triângulo (usando a expressão em função de
):
Calcule passo a passo usando
:
Então
Primeiro
. Multiplicando por
:
Passo 6
Calcular a área hachurada (área do círculo que não pertence ao triângulo):
Substituindo os valores numéricos:
Arredondando para uma casa decimal (como as opções dadas têm uma casa decimal):
Passo 7
Comparação com as alternativas:
- Calculamos
. - Entre as alternativas oferecidas a mais próxima do nosso resultado é a letra A)
. (Nenhuma alternativa coincide exatamente com , então escolhemos a mais próxima numérica.)
Resposta
A)