Qual é a área de um triângulo equilátero de lado 12 cm ?

Passo 1

O enunciado pede a área de um triângulo equilátero cujo lado mede 12\\ \text{cm}.
Informações relevantes dadas: o triângulo é equilátero (todos os lados iguais) e o comprimento do lado é 12\\ \text{cm}.
Objetivo: determinar a área em \text{cm}^2.

Passo 2

Vamos usar a ideia clássica: para calcular a área de um triângulo precisamos da base e da altura relativa a essa base. A fórmula básica é
A=\frac{1}{2}\cdot\text{base}\cdot\text{altura}.
Aqui podemos tomar a base como o lado do triângulo, que vale 12\\ \text{cm}. Falta encontrar a altura correspondente.

Passo 3

Em um triângulo equilátero, a altura desce do vértice até o meio do lado oposto, dividindo a base em dois segmentos iguais. Então cada segmento tem comprimento \frac{a}{2}, onde a é o lado. Além disso, a altura, o segmento \frac{a}{2} e o lado a formam um triângulo retângulo. Aplicamos o Teorema de Pitágoras nesse triângulo retângulo:
h^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=a^{2},
onde h é a altura e a é o lado do triângulo.

Passo 4

Resolvendo para h:
h=\sqrt{a^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}} =\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{4}} =\sqrt{\frac{3a^{2}}{4}} =\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Explicando cada passo: subtraímos \frac{a^{2}}{4} de a^{2} obtendo \frac{3a^{2}}{4}, depois extraímos a raiz quadrada e simplificamos.

Passo 5

Substituímos a expressão da altura na fórmula da área. Podemos também usar a fórmula conhecida para triângulo equilátero:
A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h =\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} =\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2}.
Aqui a é o comprimento do lado; essa fórmula é útil porque dá a área diretamente em termos de a.

Passo 6

Agora aplicamos a=12\\ \text{cm}:
A=\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2} =\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot(12)^{2} =\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 144 =36\sqrt{3}\\ \text{cm}^{2}.

Passo 7

Se quiser uma aproximação numérica, usamos \sqrt{3}\approx 1,7320508. Então
A\approx 36\times 1,7320508 \approx 62,354\\ \text{cm}^{2}.

Resposta

36\sqrt{3}\\ \text{cm}^{2} 62,354\\ \text{cm}^{2}

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