Cite as hipóteses utilizadas na derivação da equação de Laplace para fluxo em solos. Qual delas faz o problema se tornar estacionário?

Passo 1

Beleza, o exercício tá pedindo pra gente listar todas as hipóteses que usamos quando derivamos a famosa equação de Laplace pro fluxo em solos e apontar qual delas faz o problema ficar em regime estacionário. Isso faz parte de hidráulica de solos (fluxo em meios porosos). Pra resolver a gente vai precisar da Lei de Darcy (q = –K·∇h) e da equação de conservação de massa (continuidade), além de entender o que significa “steady state” (regime estacionário).

Passo 2

Primeiro, lembra da Lei de Darcy, que diz que a velocidade específica de fluxo q (vector) é proporcional ao gradiente de carga hidráulica h:
q = -,K,nabla h
Aqui K é a condutividade hidráulica, e h = ψ + z (soma da pressão matricial ψ com a elevação z).

Passo 3

Em seguida, usamos conservação de massa no volume de controle. Pra um fluido incompressível e porosidade constante, a equação de continuidade fica
nablacdot q = 0
Isso significa que, num ponto any, o que entra sai — não há acúmulo nem déficit de água.

Passo 4

Agora, juntando as duas equações:
nablacdotl(-K,nabla hr)=0
Se K for constante (solo homogêneo e isotrópico), a gente puxa K pra fora do divergente e chega em
-K,nabla^2 h = 0 Rightarrow nabla^2 h = 0
Pronto, é a equação de Laplace.

Passo 5

Vamos listar todas as hipóteses que usamos nesse caminho:
  1. Fluxo laminar, obedecendo à Lei de Darcy.
  2. Solo homogêneo (K não varia no espaço).
  3. Solo isotrópico (K é escalar, não tensor).
  4. Fluido incompressível (densidade constante).
  5. Meio poroso rígido (porosidade θ constante, solo não se deforma).
  6. Ausência de fontes ou sumidouros internos (não há recarga nem extração no interior).
  7. Regime estacionário: não há variação temporal da carga hidráulica (∂h/∂t = 0).

Resposta

As hipóteses são:
(1) fluxo laminar (Lei de Darcy), (2) solo homogêneo, (3) solo isotrópico, (4) fluido incompressível, (5) meio rígido com porosidade constante, (6) ausência de fontes/sumidouros, e (7) regime estacionário (∂h/∂t=0).
A hipótese que faz o problema se tornar estacionário é a (7): ∂h/∂t = 0.

Exercícios relacionados