Clara tem um delivery de marmitas fitness e criou uma campanha de cupons: quem indica um novo cliente, ganha \mathrm{R} \ 5$ de desconto.
  • Cada cliente gera em média 1,4 novos clientes por semana.
  • Clara começa com 7 clientes.
  • O número de clientes por semana P(n) satisfaz a recorrência:
P(n)=P(n-1)+1.4 \cdot P(n-2),
com valores iniciais
P(1)=7, \quad P(2)=11 .
Determine a quantidade de clientes após um ano de funcionamento.

Passo 1

O enunciado dá a recorrência para o número de clientes por semana
P(n) = P(n-1) + 1{,}4\,P(n-2),
com P(1)=7 e P(2)=11, e pede P(n) após um ano. Como um ano tem 52 semanas, vamos calcular P(52) usando o método da equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à recorrência homogênea
r^2 - r - 1{,}4 = 0.

Passo 3

Resolvendo
r^2 - r - 1{,}4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4\cdot1{,}4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{6{,}6}}{2}.
Chamemos
r_1 = \frac{1 + \sqrt{6{,}6}}{2}\approx1{,}784523, \quad r_2 = \frac{1 - \sqrt{6{,}6}}{2}\approx-0{,}784523.

Passo 4

A solução geral é
P(n) = A\,(r_1)^n + B\,(r_2)^n.
Para achar A e B, usamos P(1)=7 e P(2)=11:
\begin{cases} A\,r_1 + B\,r_2 = 7,\\\ A\,r_1^2 + B\,r_2^2 = 11. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo o sistema para A e B (via substituição ou regra de Cramer) obtemos numericamente
A \approx 3{,}599, \quad B \approx -0{,}737.

Passo 6

Como \lvert r_2\rvert<1, o termo B\,(r_2)^{52} é praticamente nulo. Assim
P(52) \approx A\,(r_1)^{52}.
Calculamos
\ln\bigl(P(52)\bigr)\approx \ln(A) + 52\,\ln(r_1) \approx \ln(3{,}599) + 52\cdot\ln(1{,}784523) \approx 30{,}10,
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P(52)\approx e^{30{,}10}\approx 4{,}13\times10^{13}.

Resposta

Após um ano (52 semanas), Clara terá aproximadamente 4,13 \times 10^{13} clientes.

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