Uma startup de tecnologia lança um novo aplicativo de organização pessoal e decide adotar uma estratégia de marketing não convencional: em vez de investir em publicidade paga, opta por um modelo de marketing viral.
A estratégia inicial segue os seguintes passos:
  • No dia 1, três influenciadores digitais divulgam o aplicativo para seu público.
  • Estudos prévios da equipe indicam que, em média, cada pessoa que toma conhecimento do aplicativo compartilha com 1,5 nova pessoa no dia seguinte.
  • O compartilhamento é rápido: uma pessoa que recebe a divulgação em um dia, a repassa no dia seguinte (e não depois disso).
  • Nenhuma pessoa compartilha o conteúdo por mais de um dia, e não há repetições (ou seja, uma mesma pessoa não vê o app duas vezes).
Após os primeiros dias da campanha, os dados coletados foram:
Dia (n) Pessoas Alcançadas (P(n))
1 3
2 6
3 12
4 21
Com base nesses dados e na descrição do processo, acredita-se que o número de novas pessoas alcançadas por dia segue um modelo de recorrência linear, baseado nas pessoas que conheceram o aplicativo nos dias anteriores.
(a) Encontre uma fórmula de recorrência que modele o número de pessoas alcançadas no dia n com base nos dias anteriores.
(b) Estime a taxa média de compartilhamento utilizada pela equipe da startup e identifique os coeficientes da sua fórmula.
(c) Calcule os valores aproximados de P(n) para n=5,6,7, arredondando para o número inteiro mais próximo.
(d) Organize os resultados obtidos em uma nova tabela com as colunas: Dia n e Pessoas Alcançadas P(n).
(e) Calcule o total acumulado de pessoas alcançadas até o dia 7.

Passo 1

O enunciado trata de modelar o crescimento diário de pessoas alcançadas pelo aplicativo via marketing viral. O conteúdo é recorrência linear discreta: queremos expressar P(n), o número de novas pessoas no dia n, em função dos dias anteriores.

Passo 2

Pela descrição, cada pessoa que tomou conhecimento no dia anterior compartilha, em média, com uma taxa r de novas pessoas no dia seguinte. Isso gera a recorrência de primeira ordem
P(n) \;=\; r\,P(n-1),
com condição inicial P(1)=3.

Passo 3

Para estimar r usamos as razões observadas \tfrac{P(2)}{P(1)}=2, \tfrac{P(3)}{P(2)}=2 e \tfrac{P(4)}{P(3)}=1,75.
A média dessas três razões é
r \;=\;\frac{2 + 2 + 1,75}{3}\;\approx\;1,9167.

Passo 4

Agora calculamos
P(5)=r\,P(4)\approx1,9167\times21\approx40{,}25\;\Rightarrow\;40,
P(6)=r\,P(5)\approx1,9167\times40\approx76{,}67\;\Rightarrow\;77,
P(7)=r\,P(6)\approx1,9167\times77\approx147{,}57\;\Rightarrow\;148,
arredondando cada valor para o inteiro mais próximo.

Passo 5

Dia n e P(n):
\begin{array}{|c|c|} \hline n & P(n)\\\ \hline 1 & 3\\\\ 2 & 6\\\\ 3 & 12\\\\ 4 & 21\\\\ 5 & 40\\\\ 6 & 77\\\\ 7 & 148\\\ \hline \end{array}

Passo 6

O total acumulado até o dia 7 é
3 + 6 + 12 + 21 + 40 + 77 + 148 \;=\;307.

Resposta

(a) \displaystyle P(n)=r\,P(n-1).
(b) Estimativa de r=\tfrac{2+2+1{,}75}{3}\approx1,9167; coeficiente é r.
(c) P(5)=40,\;P(6)=77,\;P(7)=148.
(d) Tabela conforme o passo 5.
(e) Total acumulado até o dia 7: 307.

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