Em uma classe de 20 alunos, o professor deseja montar grupos de 5 alunos para trabalhar no laboratório. Quantos grupos distintos poderá formar?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos 20 alunos e queremos formar grupos de 5, sem ligar a ordem (ou seja, grupo A–B–C–D–E é o mesmo que E–D–C–B–A). Isso é um problema de combinação simples, que cai em teoria de “Contagem” ou “Combinatória”. Para resolver, vamos precisar da noção de fatorial (n!) e da fórmula de combinação sem repetição:
Passo 2
O que é fatorial? Para qualquer número inteiro positivo m, a gente define
Exemplos:
Usamos fatorial na fórmula de combinação porque estamos contando o número de jeitos de escolher k itens entre n, sem ordem.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: n = 20 (total de alunos), k = 5 (tamanho de cada grupo). Então
Passo 4
Para não calcular 20! todo de uma vez (que é gigante), percebemos que muita coisa se cancela entre 20! e 15!.
20! = 20×19×18×17×16×15!
Então
20! = 20×19×18×17×16×15!
Então
Passo 5
Bora calcular o numerador e o denominador separados:
Numerador = 20×19×18×17×16
Denominador = 5×4×3×2×1 = 120
Numerador = 20×19×18×17×16
Denominador = 5×4×3×2×1 = 120
Vamos simplificar antes de multiplicar tudo de uma vez:
- 20÷5 = 4
- 18÷3 = 6
- 16÷4 = 4
- 6÷2 = 3 (após usar o 2 do denominador)
Aí sobrou no numerador: 4×19×3×17×4
E no denominador: 1×1×1×1×1 = 1
E no denominador: 1×1×1×1×1 = 1
Multiplicando:
4×19 = 76
76×3 = 228
228×17 = 3876
3876×4 = 15 504
4×19 = 76
76×3 = 228
228×17 = 3876
3876×4 = 15 504
Resposta
O número de grupos distintos de 5 alunos que o professor pode formar é 15504.