Em uma classe de 20 alunos, o professor deseja montar grupos de 5 alunos para trabalhar no laboratório. Quantos grupos distintos poderá formar?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos 20 alunos e queremos formar grupos de 5, sem ligar a ordem (ou seja, grupo A–B–C–D–E é o mesmo que E–D–C–B–A). Isso é um problema de combinação simples, que cai em teoria de “Contagem” ou “Combinatória”. Para resolver, vamos precisar da noção de fatorial (n!) e da fórmula de combinação sem repetição:
C(n,k) = n!k!,(n-k)!

Passo 2

O que é fatorial? Para qualquer número inteiro positivo m, a gente define
m! = m times (m-1) times (m-2) times dots times 2 times 1
Exemplos:
5! = 5times4times3times2times1 = 120,
3! = 3times2times1 = 6
Usamos fatorial na fórmula de combinação porque estamos contando o número de jeitos de escolher k itens entre n, sem ordem.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: n = 20 (total de alunos), k = 5 (tamanho de cada grupo). Então
C(20,5) = 20!5!,(20-5)! = 20!5!,15!

Passo 4

Para não calcular 20! todo de uma vez (que é gigante), percebemos que muita coisa se cancela entre 20! e 15!.
20! = 20×19×18×17×16×15!
Então
20!5!,15! = 20times19times18times17times16timescancel15!(5times4times3times2times1)timescancel15! = 20times19times18times17times165times4times3times2times1

Passo 5

Bora calcular o numerador e o denominador separados:
Numerador = 20×19×18×17×16
Denominador = 5×4×3×2×1 = 120
Vamos simplificar antes de multiplicar tudo de uma vez:
  • 20÷5 = 4
  • 18÷3 = 6
  • 16÷4 = 4
  • 6÷2 = 3 (após usar o 2 do denominador)
Aí sobrou no numerador: 4×19×3×17×4
E no denominador: 1×1×1×1×1 = 1
Multiplicando:
4×19 = 76
76×3 = 228
228×17 = 3876
3876×4 = 15 504

Resposta

O número de grupos distintos de 5 alunos que o professor pode formar é 15504.

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