Classificar as cônicas de equações seguintes, calculando as coordenados do centro (ou vértice) e indicando suas posições em relação aos eixos coordenados, QUANDO POSSÍVEL.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de uma cônica:
. Nosso objetivo aqui é classificar essa cônica, ou seja, descobrir se é uma circunferência, elipse, parábola ou hipérbole. Para isso, vamos precisar completar os quadrados nas variáveis
e
para encontrar o centro da cônica e entender sua posição em relação aos eixos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para o termo de
. Pegamos o coeficiente de
, que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 1 na equação:
Isso nos dá:
Passo 4
Vamos agora completar o quadrado para o termo de
. Primeiro, fatoramos o 4 dos termos de
:
Dentro do parêntese, pegamos o coeficiente de
, que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 1 dentro do parêntese:
Agora, substituímos de volta na equação:
Passo 5
Vamos simplificar a equação agora:
Somando 5 dos dois lados:
Hmm, isso sugere que a soma dos quadrados é igual a zero, o que só é possível se cada termo for zero:
Portanto,
e
.
Resposta
A cônica
é um ponto específico localizado no centro
. Isso significa que a cônica é uma circunferência degenerada, ou seja, um ponto único no plano.