Determinar se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique adequadamente.
No espaço, a interseção da superfĩcie
com o plano
é uma parábola com foco por baixo da diretriz.
No espaço, a interseção da superfĩcie
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se a interseção da superfície
com o plano
resulta numa parábola com o foco abaixo da diretriz. Pra resolver isso, vamos precisar usar geometria analítica, especificamente o estudo de parábolas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa intersecar a superfície
com o plano
. Isso quer dizer que vamos substituir
por
na equação da superfície para obter a equação da curva de interseção.
Passo 3
Substituindo
na equação da superfície:
Essa é a equação da curva de interseção no plano
.
Passo 4
Vamos reescrever essa equação para deixar mais fácil de identificar o tipo de curva:
Podemos ver que isso se parece com a equação de uma parábola na forma
, onde
e
.
Passo 5
Sabemos que a forma geral de uma parábola vertical é:
Comparando com a nossa equação
, podemos rearrumar para:
Assim,
, então
.
Passo 6
O parâmetro
determina a posição do foco em relação à diretriz. Neste caso, como
, o foco está acima da diretriz.
Passo 7
Como o enunciado afirma que o foco está abaixo da diretriz, isso contraria o que encontramos.
Resposta
Falsa. A interseção resulta numa parábola com o foco acima da diretriz, não abaixo.