Classificar as cônicas de equações seguintes, calculando as coordenados do centro (ou vértice) e indicando suas posições em relação aos eixos coordenados, QUANDO POSSÍVEL.
© C: x^2+4 y^2-2 x+8 y+9=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa classificar a cônica dada pela equação . Para isso, vamos encontrar as coordenadas do centro e ver como ela está posicionada em relação aos eixos coordenados. Vamos usar o método de completar o quadrado para facilitar essa classificação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de x^2 - 2x + 4y^2 + 8y = -9 e de :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x^2 - 2x . Pegamos os coeficientes de (-22)^2 = 1 :
x^2 - 2x + 1 - 1 = (x - 1)^2 - 1
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1:

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para os termos de 4y^2 + 8y , lembrando que o coeficiente de 4(y^2 + 2y) é 4:
(22)^2 = 1
Fatoramos o 4:
4(y^2 + 2y + 1 - 1) = 4(y + 1)^2 - 4
Completamos o quadrado dentro do parêntese:
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parêntese:

Passo 5

Substituindo de volta na equação original:
(x - 1)^2 - 1 + 4(y + 1)^2 - 4 = -9
Simplificando:
(x - 1)^2 + 4(y + 1)^2 - 5 = -9
Adicionamos 5 aos dois lados:
(x - 1)^2 + 4(y + 1)^2 = -4

Passo 6

Observamos que o lado direito da equação é negativo ( ). Em equações de cônicas, isso indica que não há soluções reais para a equação, ou seja, não existe uma cônica real correspondente a essa equação.

Resposta

A equação não representa uma cônica real, pois não há soluções reais para a equação.

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