Classificar e resolver os sistemas.
\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y-2 z=10 \\\\ 3 x-5 y+4 z=5 \\\ x-2 y-7 z=-24\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para classificar (ver se há solução única, infinita ou nenhuma) e resolver o sistema
\begin{cases} 2x+3y-2z=10,\\\\ 3x-5y+4z=5,\\\ x-2y-7z=-24. \end{cases}
O conteúdo que vamos usar é a classificação por determinante da matriz dos coeficientes e, em seguida, resolução por eliminação (substituição).

Passo 2

Monte a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -2\\\\ 3 & -5 & 4\\\\ 1 & -2 & -7 \end{pmatrix}
e calcule seu determinante por expansão na primeira linha:
\det(A) =2\det\begin{pmatrix}-5&4\\\ -2&-7\end{pmatrix} -3\det\begin{pmatrix}3&4\\\ 1&-7\end{pmatrix} +(-2)\det\begin{pmatrix}3&-5\\\ 1&-2\end{pmatrix}.

Passo 3

Calcule cada 2\times 2:
\det\begin{pmatrix}-5&4\\\ -2&-7\end{pmatrix} =(-5)(-7)-4(-2)=35+8=43,
\det\begin{pmatrix}3&4\\\ 1&-7\end{pmatrix} =3(-7)-4\cdot1=-21-4=-25,
\det\begin{pmatrix}3&-5\\\ 1&-2\end{pmatrix} =3(-2)-(-5)\cdot1=-6+5=-1.
Logo
\det(A)=2\cdot43-3\cdot(-25)+(-2)\cdot(-1)=86+75+2=163\neq0.
Como \det(A)\neq0, o sistema tem solução única.

Passo 4

Para encontrar a solução, use a terceira equação para isolar x:
x-2y-7z=-24 \quad\Longrightarrow\quad x=2y+7z-24.

Passo 5

Substitua x=2y+7z-24 em (1) e em (2):
(1) ~2x+3y-2z=10 fica
2(2y+7z-24)+3y-2z=10 \quad\Longrightarrow\quad 7y+12z=58.
(2) ~3x-5y+4z=5 fica
3(2y+7z-24)-5y+4z=5 \quad\Longrightarrow\quad y+25z=77.

Passo 6

Resolva o sistema em y,z\): \[\begin{cases} 7y+12z=58,\\\ y+25z=77. \end{cases}
Da segunda, (y=77-25z]. Substituindo na primeira:
7(77-25z)+12z=58 \quad\Longrightarrow\quad 539-175z+12z=58 \quad\Longrightarrow\quad -163z=-481 \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{481}{163}.
Então
y=77-25\cdot\frac{481}{163} =\frac{12551-12025}{163} =\frac{526}{163}.

Passo 7

Por fim,
x=2y+7z-24 =2\cdot\frac{526}{163}+7\cdot\frac{481}{163}-24 =\frac{1052+3367}{163}-\frac{24\cdot163}{163} =\frac{4419-3912}{163} =\frac{507}{163}.

Resposta

O sistema é possível e determinado (solução única) e
(x,y,z) =\Bigl(\tfrac{507}{163},\,\tfrac{526}{163},\,\tfrac{481}{163}\Bigr).

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