Classificar as seguintes EDO’s (ordem e linearidade).
\frac{d y}{d x}=\sqrt{1+\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial dada quanto à ordem e quanto à linearidade. A equação fornecida é:
\frac{dy}{dx}=\sqrt{1+\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{2}}.
Informações relevantes que temos:
  • A variável dependente é y e a independente é x.
  • Aparecem as derivadas \frac{dy}{dx} e \frac{d^{2}y}{dx^{2}}.
  • A tarefa é: (1) determinar a ordem da EDO; (2) dizer se a EDO é linear ou não.

Passo 2

Definição e ideia do que é ordem de uma EDO (aula rápida e simples).
  • A ordem de uma equação diferencial ordinária é o maior índice de derivada de y que aparece na equação.
  • Exemplos rápidos para fixar:
    • A equação \dfrac{dy}{dx}=\sin x tem ordem 1 porque a maior derivada presente é \dfrac{dy}{dx}.
    • A equação \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}+y=0 tem ordem 3 porque aparece \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}.
  • Observação importante: o fato de a derivada aparecer dentro de uma função (por exemplo, dentro de uma raiz, quadrado, seno, etc.) não a elimina; ela continua contando para a ordem.

Passo 3

Aplicando a definição de ordem à equação dada.
  • Na equação \dfrac{dy}{dx}=\sqrt{1+\left(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{2}} a maior derivada que aparece é \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} (a derivada de segunda ordem).
  • Pelo raciocínio do passo anterior, isso significa que a ordem da EDO é 2.

Passo 4

Definição e ideia do que significa uma EDO ser linear (aula rápida e com exemplos).
  • Uma EDO de ordem n é linear se puder ser escrita na forma a_n(x)\,y^{(n)}+a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)\,y'+a_0(x)\,y=g(x),onde os coeficientes a_i(x) e o termo independente g(x) dependem apenas de x (a variável independente) e não dependem de y nem de suas derivadas.
  • Em outras palavras: numa EDO linear, y e todas as suas derivadas aparecem apenas em potência 1 e sem serem argumentos de funções não lineares; não há produtos entre y (ou suas derivadas) nem funções não lineares de y ou de suas derivadas.
  • Exemplos para comparar:
    • Linear: y''+p(x)y'+q(x)y=r(x).
    • Não linear: y''+(y')^{2}=0 (porque aparece (y')^{2}), ou y'=\sin(y) (porque aparece \sin(y)).

Passo 5

Aplicando a definição de linearidade à equação dada.
  • Na equação \dfrac{dy}{dx}=\sqrt{1+\left(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{2}} aparece o termo \left(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{2}, ou seja, a derivada de segunda ordem está elevada ao quadrado, e além disso toda essa expressão está dentro de uma função não linear (a raiz quadrada).
  • Esses dois fatos violam a forma linear: a derivada de segunda ordem não aparece apenas multiplicada por um coeficiente que dependa só de x; ela aparece numa potência e como argumento de uma função não linear.
  • Portanto a equação não é linear (é não linear).

Resposta

\text{Ordem: }2
\text{Linearidade: não linear}ã

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