Classificar as seguintes EDO’s (ordem e linearidade).
Passo 1
O enunciado pede para classificar a equação diferencial dada quanto à ordem e quanto à linearidade. A equação fornecida é:
Informações relevantes que temos:
- A variável dependente é
e a independente é . - Aparecem as derivadas
e . - A tarefa é: (1) determinar a ordem da EDO; (2) dizer se a EDO é linear ou não.
Passo 2
Definição e ideia do que é ordem de uma EDO (aula rápida e simples).
- A ordem de uma equação diferencial ordinária é o maior índice de derivada de
que aparece na equação. - Exemplos rápidos para fixar:
- A equação
tem ordem porque a maior derivada presente é . - A equação
tem ordem porque aparece .
- A equação
- Observação importante: o fato de a derivada aparecer dentro de uma função (por exemplo, dentro de uma raiz, quadrado, seno, etc.) não a elimina; ela continua contando para a ordem.
Passo 3
Aplicando a definição de ordem à equação dada.
- Na equação
a maior derivada que aparece é (a derivada de segunda ordem). - Pelo raciocínio do passo anterior, isso significa que a ordem da EDO é
.
Passo 4
Definição e ideia do que significa uma EDO ser linear (aula rápida e com exemplos).
- Uma EDO de ordem
é linear se puder ser escrita na forma onde os coeficientes e o termo independente dependem apenas de (a variável independente) e não dependem de nem de suas derivadas. - Em outras palavras: numa EDO linear,
e todas as suas derivadas aparecem apenas em potência e sem serem argumentos de funções não lineares; não há produtos entre (ou suas derivadas) nem funções não lineares de ou de suas derivadas. - Exemplos para comparar:
- Linear:
. - Não linear:
(porque aparece ), ou (porque aparece ).
- Linear:
Passo 5
Aplicando a definição de linearidade à equação dada.
- Na equação
aparece o termo , ou seja, a derivada de segunda ordem está elevada ao quadrado, e além disso toda essa expressão está dentro de uma função não linear (a raiz quadrada). - Esses dois fatos violam a forma linear: a derivada de segunda ordem não aparece apenas multiplicada por um coeficiente que dependa só de
; ela aparece numa potência e como argumento de uma função não linear. - Portanto a equação não é linear (é não linear).