1. Dada a função custo C(x)=x^{3}+6 x^{2}-2 x-5 e a função receita R(x)=9 x^{3}+10 x^{2}-2 x-7. Encontre a função lucro marginal e calcule o lucro marginal para x=67
Resposta:
\begin{gathered} L(x)=8 x^{3}+4 x^{2}-2 \\\ L^{\prime}(x)=24 x^{2}+8 x \\\ L^{\prime}(67)=108272 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado nos dá as funções custo e receita:
C(x)=x^{3}+6x^{2}-2x-5
R(x)=9x^{3}+10x^{2}-2x-7
O que é pedido:
  • Encontrar a função lucro marginal (ou seja, a derivada do lucro);
  • Calcular o valor dessa função no ponto x=67.

Passo 2

Definição e montagem do lucro. A função lucro L(x) é receita menos custo:
L(x)=R(x)-C(x).
Vamos subtrair termo a termo (pegando os dados do enunciado):
L(x)=(9x^{3}+10x^{2}-2x-7)-(x^{3}+6x^{2}-2x-5).
Agora simplificando cada tipo de termo:
\begin{aligned} 9x^{3}-x^{3}&=8x^{3},\\\\ 10x^{2}-6x^{2}&=4x^{2},\\\\ -2x-(-2x)&=0,\\\\ -7-(-5)&=-2. \end{aligned}
Portanto:
L(x)=8x^{3}+4x^{2}-2.

Passo 3

O que é lucro marginal e como obter?
  • O lucro marginal é a taxa de variação do lucro em relação à quantidade x; na prática é a derivada da função lucro.
  • Para derivar polinômios usamos a regra do poder (power rule): para \,x^{n}\, vale
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Constantes desaparecem ao derivar: \frac{d}{dx}(\text{constante})=0.
    Vou aplicar essas regras termo a termo em L(x).

Passo 4

Derivando L(x)=8x^{3}+4x^{2}-2 termo a termo:
\begin{aligned} \frac{d}{dx}(8x^{3})&=8\cdot\frac{d}{dx}(x^{3})=8\cdot 3x^{2}=24x^{2},\\[4pt] \frac{d}{dx}(4x^{2})&=4\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=4\cdot 2x=8x,\\[4pt] \frac{d}{dx}(-2)&=0. \end{aligned}
Somando os resultados:
L'(x)=24x^{2}+8x.]

Passo 5

Agora vamos calcular L'(67). Primeiro calculemos 67^{2}:
67^{2}=4489.
Multiplicando por 24:
24\cdot 4489 = 24\cdot(4000+400+80+9)=24\cdot4000+24\cdot400+24\cdot80+24\cdot9=96000+9600+1920+216=107736.
Calcule 8\cdot 67:
8\cdot67=536.
Somando as duas parcelas:
L'(67)=107736+536=108272.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: \,L'(67)=108272 significa que, por volta de x=67, um aumento de uma unidade em x aumenta o lucro em aproximadamente 108272 unidades monetárias. Você fez certinho — respira, esse tipo de exercício é direto quando se domina subtração de polinômios e a regra do poder!

Resposta

L'(x)=24x^{2}+8x
L'(67)=108272

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