Classifique as afirmações abaixo em verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justifique. Se falsa, dê um contra-exemplo
Se
possui uma função inversa à esquerda, essa inversa à esquerda é única.
Se
Passo 1
O enunciado afirma: “Se
possui uma função inversa à esquerda, essa inversa à esquerda é única.”
O que nos é dado:
O que nos é dado:
- Existe uma função
. - Existe uma função
tal que
O que é pedido:
- Classificar a afirmação como verdadeira ou falsa.
- Se for verdadeira, justificar por que a inversa à esquerda é única.
- Se for falsa, dar um contra-exemplo (ou seja, um
com duas inversas à esquerda distintas).
Passo 2
Explicando os conceitos (aulas rápidas, sem pressa).
- Dizemos que
é uma inversa à esquerda de quando . Isso significa que, para todo ,
- Uma função
é injetora (injectiva) quando implica . Vou mostrar já adiante por que a existência de inversa à esquerda força injetividade.
Passo 3
Prova de que existência de inversa à esquerda implica
injetora (isso é útil para entender limitações).
Se existe com
, então para quaisquer
, se
aplicando
aos dois lados obtemos
Se existe
Usando
isso dá
Portanto
é injetora. (Comentário: bom saber, mas injetividade por si só não garante unicidade da inversa à esquerda.)
Passo 4
Mostrando o que acontece com duas inversas à esquerda quaisquer.
Suponha que e
são duas funções
com
Suponha que
Para qualquer
que esteja na imagem de
, isto é, exista
tal que
, temos
Logo
e
coincidem em todos os elementos de
. Porém eles podem diferir em elementos de
que não pertencem a
. É justamente aí que reside a possibilidade de não unicidade.
Passo 5
Contra-exemplo concreto (mão na massa).
Tome
Tome
e defina
por
Então
(note que
é injetora, mas não sobrejetora).
Defina duas funções
por
Verificações rápidas:
- Para
e para todo temos , pois e ambos enviam e . Assim
- Mas
pois e .
Portanto
tem pelo menos duas inversas à esquerda distintas. Isso mostra que a afirmação do enunciado é falsa.
Passo 6
Resumo da lição útil (para a prova, tipo “cola mental”):
- A existência de inversa à esquerda implica que
é injetora. - Duas inversas à esquerda sempre coincidem em
, mas podem diferir fora de . - Consequência prática: a inversa à esquerda é única se, além de existir, for exigido que ela seja definida de forma determinada em todos os pontos de
— por exemplo, se for bijetora então a inversa (esquerda = direita) existe e é única. Mas apenas ter uma inversa à esquerda não garante unicidade quando não é sobrejetora.
Resposta
Falsa.