Classifique as afirmações abaixo em verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justifique. Se falsa, dê um contra-exemplo
Se f possui uma função inversa à esquerda, essa inversa à esquerda é única.

Passo 1

O enunciado afirma: “Se f possui uma função inversa à esquerda, essa inversa à esquerda é única.”
O que nos é dado:
  • Existe uma função f:A\to B.
  • Existe uma função g:B\to A tal que
g\circ f=\mathrm{id}_A.
O que é pedido:
  • Classificar a afirmação como verdadeira ou falsa.
  • Se for verdadeira, justificar por que a inversa à esquerda é única.
  • Se for falsa, dar um contra-exemplo (ou seja, um f com duas inversas à esquerda distintas).

Passo 2

Explicando os conceitos (aulas rápidas, sem pressa).
  • Dizemos que g é uma inversa à esquerda de f quando \,g\circ f=\mathrm{id}_A. Isso significa que, para todo a\in A,
g(f(a))=a.
  • Uma função f é injetora (injectiva) quando f(x)=f(y) implica x=y. Vou mostrar já adiante por que a existência de inversa à esquerda força injetividade.

Passo 3

Prova de que existência de inversa à esquerda implica f injetora (isso é útil para entender limitações).
Se existe g com g\circ f=\mathrm{id}_A, então para quaisquer x,y\in A, se f(x)=f(y) aplicando g aos dois lados obtemos
g(f(x))=g(f(y)).
Usando g\circ f=\mathrm{id}_A isso dá
x=y.
Portanto f é injetora. (Comentário: bom saber, mas injetividade por si só não garante unicidade da inversa à esquerda.)

Passo 4

Mostrando o que acontece com duas inversas à esquerda quaisquer.
Suponha que g e h são duas funções B\to A com
g\circ f=\mathrm{id}_A \qquad\text{e}\qquad h\circ f=\mathrm{id}_A.
Para qualquer b\in B que esteja na imagem de f, isto é, exista a\in A tal que b=f(a), temos
g(b)=g(f(a))=a=h(f(a))=h(b).
Logo g e h coincidem em todos os elementos de \mathrm{Im}(f). Porém eles podem diferir em elementos de B que não pertencem a \mathrm{Im}(f). É justamente aí que reside a possibilidade de não unicidade.

Passo 5

Contra-exemplo concreto (mão na massa).
Tome
A=\{1,2\},\qquad B=\{a,b,c\},
e defina f:A\to B por
f(1)=a,\qquad f(2)=b.
Então \mathrm{Im}(f)=\{a,b\} (note que f é injetora, mas não sobrejetora).
Defina duas funções g_1,g_2:B\to A por
g_1(a)=1,\quad g_1(b)=2,\quad g_1\text{(c)}=1,
g_2(a)=1,\quad g_2(b)=2,\quad g_2\text{(c)}=2.
Verificações rápidas:
  • Para i=1,2 e para todo x\in A temos g_i(f(x))=x, pois f(1)=a,f(2)=b e ambos g_1,g_2 enviam a\mapsto1 e b\mapsto2. Assim
g_1\circ f=\mathrm{id}_A \qquad\text{e}\qquad g_2\circ f=\mathrm{id}_A.
  • Mas g_1\ne g_2 pois g_1\text{(c)}=1 e g_2\text{(c)}=2.
Portanto f tem pelo menos duas inversas à esquerda distintas. Isso mostra que a afirmação do enunciado é falsa.

Passo 6

Resumo da lição útil (para a prova, tipo “cola mental”):
  • A existência de inversa à esquerda implica que f é injetora.
  • Duas inversas à esquerda sempre coincidem em \mathrm{Im}(f), mas podem diferir fora de \mathrm{Im}(f).
  • Consequência prática: a inversa à esquerda é única se, além de existir, for exigido que ela seja definida de forma determinada em todos os pontos de B — por exemplo, se f for bijetora então a inversa (esquerda = direita) existe e é única. Mas apenas ter uma inversa à esquerda não garante unicidade quando f não é sobrejetora.

Resposta

Falsa.

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