Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contraexemplo.
( ) Se (| \left|a_{n}\right| ) é convergente, então ( a_{n} ) é convergente;

Passo 1

O enunciado pergunta se de fato “sempre que a sequência \bigl(|a_n|\bigr) é convergente então a sequência \bigl(a_n\bigr) também é convergente”. O conteúdo aqui é sobre convergência de sequências e contraexemplo para mostrar que nem sempre uma consequência aparente vale.

Passo 2

Vamos construir um contraexemplo clássico. Defina
a_n = (-1)^n.
Então, para todo n,
|a_n| = |(-1)^n| = 1,
logo a sequência \bigl(|a_n|\bigr) é constante e converge a 1. Porém \bigl(a_n\bigr) não converge, pois tem duas subsequências com limites diferentes:
a_{2k} = 1 \quad\text{e}\quad a_{2k+1} = -1.
Como não existe único valor limite, \bigl(a_n\bigr) diverge.

Resposta

(F)

Exercícios relacionados