Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contraexemplo.
( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge e a_{n} \geq 0, \forall n, então \sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt{a_{n}} converge;

Passo 1

O enunciado afirma que, dado \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} convergente com a_{n}\ge0 para todo n, então \sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{a_{n}} também converge. O conteúdo é séries de termos não-negativos e transformação termo a termo.

Passo 2

Para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa, podemos buscar um contraexemplo: escolher uma sequência (a_{n}) de termos não-negativos tal que \sum a_{n} converge, mas \sum\sqrt{a_{n}} diverge.

Passo 3

Considere a_{n} = \frac{1}{n^{2}}. Então \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} é uma série p-série com p=2>1, portanto converge.

Passo 4

Nesse caso,
\sqrt{a_{n}} =\sqrt{\frac{1}{n^{2}}} =\frac{1}{n},
e a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é a série harmônica, que diverge.

Passo 5

Como encontramos (a_{n}) tal que \sum a_{n} converge mas \sum\sqrt{a_{n}} diverge, a afirmação original é falsa.

Resposta

(F) O contraexemplo a_{n}=1/n^{2} mostra que \sum a_{n} converge, mas \sum\sqrt{a_{n}}=\sum1/n diverge.

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