Classifique as afirmações abaixo como verdadeira
ou falsa
dando uma demonstração ou um contraexemplo.
( ) Se
converge e
, então
converge;
( ) Se
Passo 1
O enunciado afirma que, dado
convergente com
para todo
, então
também converge. O conteúdo é séries de termos não-negativos e transformação termo a termo.
Passo 2
Para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa, podemos buscar um contraexemplo: escolher uma sequência
de termos não-negativos tal que
converge, mas
diverge.
Passo 3
Considere
. Então
é uma série
-série com
, portanto converge.
Passo 4
Nesse caso,
e a série
é a série harmônica, que diverge.
Passo 5
Como encontramos
tal que
converge mas
diverge, a afirmação original é falsa.
Resposta
(F) O contraexemplo
mostra que
converge, mas
diverge.