Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras ou falsas, dando contra-exemplo para as falsas. Se f é contínua em p, então f é derivável em p.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma afirmação que diz: “Se é contínua em , então é derivável em .” A gente vai trabalhar com os conceitos de continuidade e derivabilidade de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que cada uma dessas propriedades significa e verificar se realmente toda vez que uma função é contínua em um ponto , ela também é derivável nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto . Uma função é contínua em se, quando a gente se aproxima de de qualquer direção, o valor de se aproxima de . Em outras palavras, não tem “saltos” ou “buracos” no gráfico da função naquele ponto.

Passo 3

Agora, derivabilidade em um ponto quer dizer que a função tem uma reta tangente bem definida naquele ponto. Matemáticamente, isso significa que o limite que define a derivada existe. A derivabilidade implica continuidade, mas será que o contrário também é verdadeiro? Ou seja, toda função contínua é derivável?

Passo 4

Na verdade, a afirmação "Se é contínua em , então é derivável em " é falsa. Ser contínuo não garante que a função seja derivável no mesmo ponto. Existem funções que são contínuas em certos pontos, mas apresentam cantos ou pontos angulosos que impedem a existência da derivada naquele local.

Passo 5

Um contra-exemplo clássico é a função valor absoluto:
Vamos analisar essa função no ponto :
  1. Continuidade: é contínua em porque não tem “saltos” ali. O limite de quando se aproxima de 0 é 0, que é exatamente .
  2. Derivabilidade: Para ser derivável em 0, a derivada pela direita e pela esquerda devem ser iguais. Calculando:
    • Derivada pela direita:
    • Derivada pela esquerda:
Como as derivadas pela direita e pela esquerda são diferentes, a derivada em não existe.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, a função é contínua em mas não é derivável em .

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