1. Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, no caso em que seja falsa apresente um contra-exemplo
    (a) Toda sequência convergente é limitada;
    (b) Toda sequência limitada é convergente;
    (c) A soma de duas sequências convergentes é convergente;
    (d) A soma de duas sequências divergentes é divergente;
    (e) Toda sequência limitada é monótona;
    (i) \left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}
    (j) n\left[1-\cos \frac{1}{n}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Classificar as afirmações
    (a) a (e) em verdadeiras ou falsas, dando contra-exemplo quando forem falsas.
  2. Determinar o comportamento (convergência e limite) das sequências
    (i) \bigl(1-\tfrac{2}{n}\bigr)^{n}
    (j) n\bigl[1-\cos\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)\bigr]
    Para isso vamos usar os conceitos de sequência convergente, sequência limitada, monotonicidade, regras de soma de limites e limites notáveis.

Passo 2

(a) “Toda sequência convergente é limitada.”
Uma sequência convergente tem por definição limite finito, e é teorema básico que tal sequência fica confinada num intervalo em torno do seu limite. Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 3

(b) “Toda sequência limitada é convergente.”
Isto seria o recíproco de (a), mas é falso.
Contra-exemplo: \,a_n = (-1)^n é limitada em [-1,1] mas não converge, pois oscila entre -1 e 1.

Passo 4

(c) “A soma de duas sequências convergentes é convergente.”
Sejam \,(a_n)\to A e \,(b_n)\to B. Então por regras de limites
a_n + b_n \;\longrightarrow\; A + B.
Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 5

(d) “A soma de duas sequências divergentes é divergente.”
Também é falso: podemos ter duas que divergem mas cancelam-se.
Contra-exemplo: a_n = (-1)^n e b_n = -(-1)^n ambas divergem, mas
a_n + b_n = 0
é convergente.

Passo 6

(e) “Toda sequência limitada é monótona.”
Isto também é falso: ser limitada não força ordem.
Contra-exemplo: de novo \,a_n = (-1)^n é limitada em [-1,1] mas não é monótona.

Passo 7

(i) \displaystyle \bigl(1-\tfrac{2}{n}\bigr)^{n}
Usamos o limite notável
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\tfrac{x}{n}\Bigr)^{n} = e^{x}.
Aqui x=-2. Logo
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1-\tfrac{2}{n}\Bigr)^{n} = e^{-2}.

Passo 8

(j) \displaystyle n\Bigl[1-\cos\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)\Bigr]
Para x pequeno vale a expansão \cos x = 1 - \tfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2}). Tomando x=\tfrac1n,
1-\cos\!\bigl(\tfrac1n\bigr) \sim \tfrac{1}{2n^{2}},
então
n\bigl[1-\cos(\tfrac1n)\bigr] \sim n\cdot \tfrac{1}{2n^{2}} = \tfrac{1}{2n}\;\longrightarrow\;0.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Falsa, contra-exemplo a_n = (-1)^n
(c) Verdadeira
(d) Falsa, contra-exemplo a_n = (-1)^n, b_n = -(-1)^n
(e) Falsa, contra-exemplo a_n = (-1)^n
(i) \displaystyle\lim (1-\tfrac{2}{n})^{n} = e^{-2}
(j) \displaystyle\lim n[1-\cos(1/n)] = 0

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