- Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, no caso em que seja falsa apresente um contra-exemplo
(a) Toda sequência convergente é limitada;
(b) Toda sequência limitada é convergente;
(c) A soma de duas sequências convergentes é convergente;
(d) A soma de duas sequências divergentes é divergente;
(e) Toda sequência limitada é monótona;
(i)
(j)
(a) Toda sequência convergente é limitada;
(b) Toda sequência limitada é convergente;
(c) A soma de duas sequências convergentes é convergente;
(d) A soma de duas sequências divergentes é divergente;
(e) Toda sequência limitada é monótona;
(i)
(j)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Classificar as afirmações
(a) a (e) em verdadeiras ou falsas, dando contra-exemplo quando forem falsas. - Determinar o comportamento (convergência e limite) das sequências
(i)
(j)
Para isso vamos usar os conceitos de sequência convergente, sequência limitada, monotonicidade, regras de soma de limites e limites notáveis.
Passo 2
(a) “Toda sequência convergente é limitada.”
Uma sequência convergente tem por definição limite finito, e é teorema básico que tal sequência fica confinada num intervalo em torno do seu limite. Logo a afirmação é verdadeira.
Uma sequência convergente tem por definição limite finito, e é teorema básico que tal sequência fica confinada num intervalo em torno do seu limite. Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 3
(b) “Toda sequência limitada é convergente.”
Isto seria o recíproco de (a), mas é falso.
Contra-exemplo: é limitada em
mas não converge, pois oscila entre
e
.
Isto seria o recíproco de (a), mas é falso.
Contra-exemplo:
Passo 4
(c) “A soma de duas sequências convergentes é convergente.”
Sejam e
. Então por regras de limites
Sejam
Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 5
(d) “A soma de duas sequências divergentes é divergente.”
Também é falso: podemos ter duas que divergem mas cancelam-se.
Contra-exemplo: e
ambas divergem, mas
Também é falso: podemos ter duas que divergem mas cancelam-se.
Contra-exemplo:
é convergente.
Passo 6
(e) “Toda sequência limitada é monótona.”
Isto também é falso: ser limitada não força ordem.
Contra-exemplo: de novo é limitada em
mas não é monótona.
Isto também é falso: ser limitada não força ordem.
Contra-exemplo: de novo
Passo 7
(i)
Usamos o limite notável
Usamos o limite notável
Aqui
. Logo
Passo 8
(j)
Para pequeno vale a expansão
. Tomando
,
Para
então
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Falsa, contra-exemplo
(c) Verdadeira
(d) Falsa, contra-exemplo ,
(e) Falsa, contra-exemplo
(i)
(j)
(b) Falsa, contra-exemplo
(c) Verdadeira
(d) Falsa, contra-exemplo
(e) Falsa, contra-exemplo
(i)
(j)