- (Difusão e transferência de calor) Problemas de transferência de calor em materiais sólidos podem ser modelados usando a equação da condução de calor, que descreve como a temperatura
varia ao longo do tempo
e do espaço
. Uma solução comum para esta equação envolve a decomposição da função de temperatura em uma série de Fourier.
Considere uma barra metálica de comprimento
, cujas extremidades são mantidas a uma temperatura constante de zero graus
. A condição inicial é que, no tempo
, a temperatura da barra é dada por
, onde
é uma função conhecida. A equação de condução de calor unidimensional que governa o problema é:
onde
é a difusividade térmica do material. A solução geral da equação de condução de calor pode ser expressa como uma série de Fourier na forma:
onde
são coeficientes determinados pela condição inicial
.
(a) Dada a condição inicial
, encontre a solução
para a distribuição de temperatura ao longo do tempo.
(b) Explique como a série de Fourier representa fisicamente a difusão de calor ao longo da barra metálica.
(c) Considere que
e
. Qual será a temperatura
no ponto médio da barra
após
?
Considere uma barra metálica de comprimento
(a) Dada a condição inicial
(b) Explique como a série de Fourier representa fisicamente a difusão de calor ao longo da barra metálica.
(c) Considere que
Passo 1
O enunciado trata da equação de condução de calor unidimensional
numa barra de comprimento
com
e condição inicial
. A solução geral em séries de Fourier é
onde
Vamos aplicar isso para
.
Passo 2
Como
já é um único modo
, só o coeficiente
é não nulo. Calculamos
Para
, a integral de
é zero, logo
.
Passo 3
Substituindo na série, obtemos a solução desejada:
Passo 4
Fisicamente, cada termo da série de Fourier representa um “modo” de variação espacial da temperatura. O fator
mostra que modos de ordem maior (
grande) decaem mais rápido no tempo, deixando a distribuição cada vez mais suave. Assim, a série traduz como as variações de alta frequência são eliminadas pela difusão térmica.
Passo 5
Para
,
,
e
:
logo
Resposta
(a)
(b) Cada termo da série é um modo espacial
que decai no tempo com fator
. Modos de frequência maior (
maior) desaparecem mais rápido, explicando como as variações de temperatura se alisam pela difusão.
(c)
(c)