1. (Difusão e transferência de calor) Problemas de transferência de calor em materiais sólidos podem ser modelados usando a equação da condução de calor, que descreve como a temperatura T(x, t) varia ao longo do tempo t e do espaço x. Uma solução comum para esta equação envolve a decomposição da função de temperatura em uma série de Fourier.
    Considere uma barra metálica de comprimento L, cujas extremidades são mantidas a uma temperatura constante de zero graus (T(0, t)=T(L, t)=0). A condição inicial é que, no tempo t=0, a temperatura da barra é dada por T(x, 0)=f(x), onde f(x) é uma função conhecida. A equação de condução de calor unidimensional que governa o problema é:
\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}
onde \alpha é a difusividade térmica do material. A solução geral da equação de condução de calor pode ser expressa como uma série de Fourier na forma:
T(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} B_{n} e^{-\alpha\left(\frac{n \pi}{L}\right)^{2} t} \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)
onde B_{n} são coeficientes determinados pela condição inicial T(x, 0)=f(x).
(a) Dada a condição inicial f(x)=100 \sin \left(\frac{\pi x}{L}\right), encontre a solução T(x, t) para a distribuição de temperatura ao longo do tempo.
(b) Explique como a série de Fourier representa fisicamente a difusão de calor ao longo da barra metálica.
(c) Considere que L=10 \mathrm{~cm} e \alpha=0.01 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}. Qual será a temperatura T(x, t) no ponto médio da barra x=5 \mathrm{~cm} após t=50 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado trata da equação de condução de calor unidimensional
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}
numa barra de comprimento L com T(0,t)=T(L,t)=0 e condição inicial T(x,0)=f(x). A solução geral em séries de Fourier é
T(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\,e^{-\alpha\bigl(\frac{n\pi}{L}\bigr)^2t}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr),
onde
B_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx.
Vamos aplicar isso para f(x)=100\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{L}\bigr).

Passo 2

Como f(x) já é um único modo \sin(\pi x/L), só o coeficiente B_1 é não nulo. Calculamos
B_1 = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}100\sin^2\!\bigl(\tfrac{\pi x}{L}\bigr)\,dx = \frac{200}{L}\cdot\frac{L}{2} =100.
Para n\neq1, a integral de \sin(\pi x/L)\sin(n\pi x/L) é zero, logo B_n=0.

Passo 3

Substituindo na série, obtemos a solução desejada:
T(x,t)=100\,e^{-\alpha\bigl(\frac{\pi}{L}\bigr)^2t}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{L}\bigr).

Passo 4

Fisicamente, cada termo da série de Fourier representa um “modo” de variação espacial da temperatura. O fator e^{-\alpha(n\pi/L)^2t} mostra que modos de ordem maior ( n grande) decaem mais rápido no tempo, deixando a distribuição cada vez mais suave. Assim, a série traduz como as variações de alta frequência são eliminadas pela difusão térmica.

Passo 5

Para L=10\\ \mathrm{cm}, \alpha=0{,}01\\ \mathrm{cm^2/s}, x=5\\ \mathrm{cm} e t=50\\ \mathrm{s}:
\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{L}\bigr)=\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1, \quad \text{expoente}=-\alpha\bigl(\tfrac{\pi}{L}\bigr)^2t=-0{,}01\cdot\tfrac{\pi^2}{100}\cdot50=-0{,}005\pi^2,
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T(5,50)=100\,e^{-0{,}005\pi^2}\approx100\cdot0{,}952\approx95{,}2\\ ^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) T(x,t)=100\,e^{-\alpha\bigl(\frac{\pi}{L}\bigr)^2t}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{L}\bigr).
(b) Cada termo da série é um modo espacial \sin(n\pi x/L) que decai no tempo com fator e^{-\alpha(n\pi/L)^2t}. Modos de frequência maior ( n maior) desaparecem mais rápido, explicando como as variações de temperatura se alisam pela difusão.
(c) T(5\text{ cm},50\text{ s})=100\,e^{-0{,}005\pi^2}\approx95{,}2\\ ^\circ\mathrm{C}.

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