Classifique cada uma das afirmações abaixo em falsa (F) ou verdadeira (V), justificando sua resposta:
Sejam
uma matriz
e
uma matriz
. Se
tem somente a solução trivial,
tem solução única.
Sejam
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre sistemas lineares envolvendo matrizes. Temos uma matriz
de tamanho
e uma matriz
de tamanho
. A afirmação diz que se a equação
tem somente a solução trivial (ou seja,
), então a equação
tem solução única. Para resolver isso, vamos lembrar alguns conceitos básicos de álgebra linear, como a solução de sistemas lineares e a relação entre a unicidade das soluções e a dependência linear das colunas da matriz
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
ter apenas a solução trivial. Isso indica que as colunas de
são linearmente independentes. Ou seja, nenhuma coluna pode ser escrita como combinação linear das outras. Essa propriedade é importante porque afeta a solução de sistemas lineares envolvendo
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda parte:
. Sabemos que se as colunas de
são linearmente independentes (como vimos no Passo 2), então a matriz
tem posto máximo, que nesse caso é igual a
(o número de colunas). Isso significa que o sistema
terá uma solução única se e somente se
estiver no espaço coluna de
.
Passo 4
No entanto, apenas sabermos que
tem somente a solução trivial não garante que
está no espaço coluna de
. Ou seja, pode existir ou não uma solução para
, mas se existir, ela será única. Portanto, a afirmação de que
tem solução única depende de
estar no espaço coluna de
, o que não foi garantido pela condição inicial.
Resposta
Falsa. A condição de que
tem somente a solução trivial garante a unicidade da solução quando
possui solução, mas não garante que a solução exista. Portanto, a afirmação está incorreta.