Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
cx+2 z=0 -x+2 y+2 z=0 x+y+z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. Primeiro, vamos entender o que o sistema nos dá:
x + 2z = 0 -x + 2y + 2z = 0 x + y + z = 0
Aqui, estamos lidando com um sistema de três equações com três incógnitas: , e . O método de Gauss-Jordan vai nos ajudar a simplificar essas equações para encontrar os valores de cada variável.

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
1 & 0 & 2 & | & 0 -1 & 2 & 2 & | & 0 1 & 1 & 1 & | & 0
Cada linha representa uma equação, e as colunas representam os coeficientes de , , e o termo constante, respectivamente.

Passo 3

O objetivo do método é transformar essa matriz em uma forma escalonada reduzida, onde conseguimos identificar facilmente os valores das variáveis. Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posição (1,1)).
Adicionamos a primeira linha à segunda:
1 & 0 & 2 & | & 0 0 & 2 & 4 & | & 0 1 & 1 & 1 & | & 0

Passo 4

Agora, subtraímos a primeira linha da terceira linha para eliminar o 1 & 0 & 2 & | & 0 0 & 2 & 4 & | & 0 0 & 1 & -1 & | & 0 da terceira equação:

Passo 5

Vamos simplificar a segunda linha dividindo por 2, para que o coeficiente de 1 & 0 & 2 & | & 0 0 & 1 & 2 & | & 0 0 & 1 & -1 & | & 0 seja 1:

Passo 6

Agora, subtraímos a segunda linha da terceira linha para eliminar o 1 & 0 & 2 & | & 0 0 & 1 & 2 & | & 0 0 & 0 & -3 & | & 0 da terceira equação:

Passo 7

Vamos resolver a terceira equação para -3z = 0 implies z = 0 :

Passo 8

Com o valor de y + 2(0) = 0 implies y = 0 , substituímos na segunda equação para encontrar :

Passo 9

Finalmente, substituímos os valores de x + 2(0) = 0 implies x = 0 e na primeira equação para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = 0, y = 0, z = 0

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