Classifique cada uma das afirmações abaixo em falsa (F) ou verdadeira (V), justificando sua resposta:
Sejam
uma matriz
e
uma matriz
. Se
tem infinitas soluções,
também tem infinitas soluções.
Sejam
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre sistemas lineares e se certas propriedades se aplicam quando temos infinitas soluções. A gente vai precisar lembrar de conceitos básicos de matrizes e sistemas de equações lineares para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter infinitas soluções para o sistema
. Isso quer dizer que existem muitos vetores
que satisfazem essa equação.
Passo 3
Agora, vamos pensar no sistema homogêneo
, que sempre tem pelo menos a solução trivial (
). Se o sistema não homogêneo
tem infinitas soluções, isso implica que a solução geral pode ser escrita como uma solução particular mais a solução do sistema homogêneo.
Passo 4
Ou seja, existe pelo menos uma solução particular
para
e o sistema homogêneo
tem um espaço de soluções que é infinito (gerado por vetores livres). Portanto, o sistema homogêneo também tem infinitas soluções.
Passo 5
Isso está ligado ao conceito de que se o sistema não homogêneo é compatível e tem um número de incógnitas maior que o posto da matriz, então tanto o sistema não homogêneo quanto o homogêneo terão infinitas soluções.
Resposta
Verdadeiro (V). Se
tem infinitas soluções, então
também tem infinitas soluções.