Classifique cada uma das afirmações abaixo em falsa (F) ou verdadeira (V), justificando sua resposta:
Sejam A uma matriz m times n e B uma matriz m times 1. Se A X=B tem infinitas soluções, A X=0 também tem infinitas soluções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre sistemas lineares e se certas propriedades se aplicam quando temos infinitas soluções. A gente vai precisar lembrar de conceitos básicos de matrizes e sistemas de equações lineares para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter infinitas soluções para o sistema . Isso quer dizer que existem muitos vetores que satisfazem essa equação.

Passo 3

Agora, vamos pensar no sistema homogêneo , que sempre tem pelo menos a solução trivial ( ). Se o sistema não homogêneo tem infinitas soluções, isso implica que a solução geral pode ser escrita como uma solução particular mais a solução do sistema homogêneo.

Passo 4

Ou seja, existe pelo menos uma solução particular para e o sistema homogêneo tem um espaço de soluções que é infinito (gerado por vetores livres). Portanto, o sistema homogêneo também tem infinitas soluções.

Passo 5

Isso está ligado ao conceito de que se o sistema não homogêneo é compatível e tem um número de incógnitas maior que o posto da matriz, então tanto o sistema não homogêneo quanto o homogêneo terão infinitas soluções.

Resposta

Verdadeiro (V). Se tem infinitas soluções, então também tem infinitas soluções.

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