Classifique cada equaçāo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
y^{\prime}=y^{2}-x.

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique a equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade. A equação dada é
y' = y^{2} - x.
Informações relevantes passadas pelo enunciado:
  • A incógnita é a função y dependente de uma variável independente (que vou chamar de x).
  • A equação relaciona y' (derivada de y em relação a x) com y e com x.
  • As perguntas a responder são: qual é o tipo da equação, qual é a sua ordem e se ela é linear ou não.

Passo 2

O que é a ordem de uma equação diferencial e como determiná-la aqui.
Definição: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivada de y que aparece na equação. Por exemplo, se aparece até y'' (segunda derivada), a ordem é 2.
Aplicando isso à equação dada: o maior termo derivado que aparece é y' (a primeira derivada). Não aparece y'', y^{(3)} etc. Portanto a ordem é 1.

Passo 3

Tipo: equação diferencial ordinária (ODE) ou parcial (PDE); equação explícita ou implícita.
Definição rápida: uma equação é uma equação diferencial ordinária (ODE) quando as derivadas são relativas a uma única variável independente. É parcial (PDE) quando aparecem derivadas parciais em relação a mais de uma variável independente.
Na equação dada só aparece y', ou seja derivada de y em relação a uma só variável x. Logo é uma equação diferencial ordinária (ODE).
Além disso, a equação está na forma em que a derivada y' está isolada em função de x e y. Isso se chama forma explícita:
y'=\text{(algo)}.

Passo 4

Linearidade: o que significa uma ODE ser linear e por que a equação dada é (ou não) linear.
Definição: uma equação diferencial é linear (na função y) se a dependência de y e de suas derivadas for linear — isto é, y e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções da variável independente x (ou somadas), e nunca aparecem produtos entre y e suas derivadas nem potências (como y^2, yy', etc.). Para primeira ordem, a forma geral linear é
y' + p(x)\,y = q(x),
onde p(x) e q(x) são funções apenas de x.
Agora tento colocar a equação dada nessa forma. A equação é
y' = y^{2} - x.
Se eu tentasse escrever como y' + p(x)y = q(x), haveria um termo y^{2} em vez de um termo proporcional a y. O termo y^{2} é uma potência do desconhecido y, o que viola a linearidade. Portanto a equação é não linear.

Passo 5

Outras classificações úteis que ajudam a entender a equação (autônoma, separável, tipo especial).
  1. Autonomia: uma ODE é autônoma se o lado direito depende apenas de y (não depende explicitamente de x). Aqui o lado direito é y^{2}-x, que depende explicitamente de x (pelo termo -x). Logo a equação é não-autônoma.
  2. Separabilidade: uma ODE é separável se puder ser escrita como \dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y), de modo que possamos passar todos os y para um lado e todos os x para o outro. No caso,
y' = y^{2} - x
não se escreve como produto de uma função só de x por uma função só de y. Assim, não é separável.
  1. Tipo especial — Riccati: existe uma família conhecida chamada equação de Riccati, com forma geral
y' = a(x) + b(x)\,y + c(x)\,y^{2}.
A nossa equação se encaixa nessa forma com a(x)=-x, b(x)=0 e c(x)=1. Portanto é uma equação de Riccati (uma equação não linear de primeira ordem, com termo em y^{2}). Saber que é Riccati é informativo porque essas equações têm propriedades e técnicas específicas — em geral não são resolvíveis por métodos elementares, a não ser em casos especiais.

Passo 6

Recapitulando o que já mostrei (sem repetir a resposta final em bloco): determinei a ordem contando a maior derivada, mostrei que é uma ODE porque depende de uma variável independente, demonstrei que não é linear por causa do termo y^{2}, verifiquei que não é autônoma (presença de x) e que não é separável, e identifiquei que pertence à família das equações de Riccati com a(x)=-x, b(x)=0, c(x)=1.

Resposta

Equação diferencial ordinária (ODE).
Ordem: 1.
Linearidade: não linear (é do tipo Riccati, com a(x)=-x, b(x)=0, c(x)=1).

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