Classifique cada equaçāo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
.
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique a equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade. A equação dada é
Informações relevantes passadas pelo enunciado:
- A incógnita é a função
dependente de uma variável independente (que vou chamar de ). - A equação relaciona
(derivada de em relação a ) com e com . - As perguntas a responder são: qual é o tipo da equação, qual é a sua ordem e se ela é linear ou não.
Passo 2
O que é a ordem de uma equação diferencial e como determiná-la aqui.
Definição: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivada de
que aparece na equação. Por exemplo, se aparece até
(segunda derivada), a ordem é 2.
Aplicando isso à equação dada: o maior termo derivado que aparece é
(a primeira derivada). Não aparece
,
etc. Portanto a ordem é 1.
Passo 3
Tipo: equação diferencial ordinária (ODE) ou parcial (PDE); equação explícita ou implícita.
Definição rápida: uma equação é uma equação diferencial ordinária (ODE) quando as derivadas são relativas a uma única variável independente. É parcial (PDE) quando aparecem derivadas parciais em relação a mais de uma variável independente.
Na equação dada só aparece
, ou seja derivada de
em relação a uma só variável
. Logo é uma equação diferencial ordinária (ODE).
Além disso, a equação está na forma em que a derivada
está isolada em função de
e
. Isso se chama forma explícita:
Passo 4
Linearidade: o que significa uma ODE ser linear e por que a equação dada é (ou não) linear.
Definição: uma equação diferencial é linear (na função
) se a dependência de
e de suas derivadas for linear — isto é,
e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções da variável independente
(ou somadas), e nunca aparecem produtos entre
e suas derivadas nem potências (como
,
, etc.). Para primeira ordem, a forma geral linear é
onde
e
são funções apenas de
.
Agora tento colocar a equação dada nessa forma. A equação é
Se eu tentasse escrever como
, haveria um termo
em vez de um termo proporcional a
. O termo
é uma potência do desconhecido
, o que viola a linearidade. Portanto a equação é não linear.
Passo 5
Outras classificações úteis que ajudam a entender a equação (autônoma, separável, tipo especial).
-
Autonomia: uma ODE é autônoma se o lado direito depende apenas de
(não depende explicitamente de ). Aqui o lado direito é , que depende explicitamente de (pelo termo ). Logo a equação é não-autônoma. -
Separabilidade: uma ODE é separável se puder ser escrita como
, de modo que possamos passar todos os para um lado e todos os para o outro. No caso,
não se escreve como produto de uma função só de
por uma função só de
. Assim, não é separável.
- Tipo especial — Riccati: existe uma família conhecida chamada equação de Riccati, com forma geral
A nossa equação se encaixa nessa forma com
,
e
. Portanto é uma equação de Riccati (uma equação não linear de primeira ordem, com termo em
). Saber que é Riccati é informativo porque essas equações têm propriedades e técnicas específicas — em geral não são resolvíveis por métodos elementares, a não ser em casos especiais.
Passo 6
Recapitulando o que já mostrei (sem repetir a resposta final em bloco): determinei a ordem contando a maior derivada, mostrei que é uma ODE porque depende de uma variável independente, demonstrei que não é linear por causa do termo
, verifiquei que não é autônoma (presença de
) e que não é separável, e identifiquei que pertence à família das equações de Riccati com
,
,
.
Resposta
Equação diferencial ordinária (ODE).
Ordem: .
Linearidade: não linear (é do tipo Riccati, com ,
,
).
Ordem:
Linearidade: não linear (é do tipo Riccati, com