Classifique cada equaçāo quanto ao tipo, ordem e linearidade.
u u_{x}+u_{t}=0.

Passo 1

O enunciado pede que se classifique a equação
u\,u_{x}+u_{t}=0.
Perguntas que devemos responder:
  • Qual é o tipo da equação (por exemplo, equação diferencial parcial, e que família ela pertence)?
  • Qual é a ordem da equação?
  • Ela é linear, semilinear, quasilinear ou totalmente não linear?
Informações dadas:
  • A incógnita é a função u que depende de duas variáveis independentes (por exemplo x e t).
  • Aparecem as derivadas parciais u_{x} e u_{t}.
  • A combinação dada é u\,u_{x}+u_{t}=0.

Passo 2

Definição e verificação da ordem da equação.
O que significa “ordem” de uma equação diferencial? A ordem é o maior nível de derivada que aparece na equação. Por exemplo, se só aparecem derivadas de primeira ordem (como u_x, u_t), a equação é de primeira ordem; se aparece u_{xx} ou u_{tt}, pode ser de segunda ordem, e assim por diante.
Na nossa equação aparecem apenas u_{x} e u_{t}, que são derivadas de primeira ordem. Portanto a ordem é 1.
Concretamente:
\text{Ordem} = 1.

Passo 3

Explicando os tipos de linearidade (passo didático).
Primeiro, o que é uma equação linear de primeira ordem? Uma forma geral linear em primeira ordem é
a(x,t)\,u_{x}+b(x,t)\,u_{t}+c(x,t)\,u = d(x,t),
onde os coeficientes a,b,c,d dependem apenas das variáveis independentes ( x,t), e a equação é linear em u (ou seja, u e suas derivadas aparecem apenas de forma linear).
Semilinear (para primeiras ordens) normalmente não se usa tanto, mas em geral significa que as derivadas de maior ordem aparecem linearmente com coeficientes que dependem só das variáveis independentes, enquanto termos de ordem inferior podem ser não lineares em u.
Quasilinear de primeira ordem significa que as derivadas de primeira ordem aparecem de forma linear, porém seus coeficientes podem depender também de u. A forma típica é
A(x,t,u)\,u_{x}+B(x,t,u)\,u_{t}=C(x,t,u).
Note que aqui A e/ou B podem depender de u, mas as derivadas aparecem apenas multiplicadas por esses coeficientes (não aparecem produtos entre derivadas nem potências das derivadas).
Totalmente (ou plenamente) não linear seria quando as derivadas aparecem de forma não linear, por exemplo termos como (u_{x})^{2}, u_{x}u_{t}, ou funções não lineares das derivadas.
Resumo prático:
  • Se coeficientes dos termos de derivada dependem de u -> quasilinear (desde que derivadas apareçam linearmente).
  • Se coeficientes dependem só de x,t -> linear.
  • Se derivadas aparecem não linearmente (expoentes, produtos entre derivadas, funções não lineares das derivadas) -> totalmente não linear.

Passo 4

Aplicando a definição à equação dada.
Reescrevendo a equação na forma padrão:
u_{t}+u\,u_{x}=0.
Podemos identificar os coeficientes das derivadas:
  • Coeficiente de u_{t} é 1 (depende apenas de x,t — aqui é constante).
  • Coeficiente de u_{x} é u (este coeficiente depende da própria incógnita u).
As derivadas u_{t} e u_{x} aparecem de forma linear (não há (u_{x})^{2}, nem u_{x}u_{t}, nem outras não linearidades envolvendo as derivadas), mas um dos coeficientes (o de u_{x}) depende de u. Isso corresponde exatamente à forma quasilinear:
A(x,t,u)\,u_{x}+B(x,t,u)\,u_{t}=C(x,t,u),
com A(x,t,u)=u, B(x,t,u)=1 e C(x,t,u)=0.
Portanto a equação é quasilinear. Como consequência, ela não é linear (porque para ser linear os coeficientes das derivadas não podem depender de u).

Passo 5

Comentário adicional (intuitivo e útil para prova).
Uma forma muito comum de escrever é
u_{t}+u\,u_{x}=0,
que é conhecida como equação de Burgers inviscida (ou uma equação de transporte/conservação não linear). Essa observação ajuda a lembrar na prova: sempre que você vê u multiplicando u_{x}, isto indica dependência dos coeficientes na própria incógnita, logo quasilinear/não linear.
Também é útil lembrar o teste prático: se você linearizar a equação em torno de uma solução de base u=\bar{u} substituindo u=\bar{u}+\varepsilon v e mantendo só termos de ordem \varepsilon, as derivadas aparecem linearmente; isso é característico de equações quasilineares.

Resposta

Tipo: \text{Equação diferencial parcial (PDE) de transporte / conservação (Burgers inviscida).}çãçã
Ordem: \;1.
Linearidade: \text{Quasilinear (não linear).}ã

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