Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
() \sum(-1)^{n+1} \frac{1}{3^{1 / n}}

Passo 1

O enunciado pede a classificação da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{1}{3^{1/n}}
como (D) divergente, (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente. Vamos usar o teste da forma geral do termo e o teste da série alternante.

Passo 2

Analisamos o termo geral
a_{n}=(-1)^{n+1}\,\frac{1}{3^{1/n}}.
Primeiro calculemos o limite da parte positiva
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3^{1/n}} =\lim_{n\to\infty}3^{-1/n} =3^{\displaystyle\lim_{n\to\infty}(-1/n)} =3^{0} =1.
Logo
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{1}{3^{1/n}}
não existe como zero, pois o módulo tende a 1 e o sinal oscila.

Passo 3

Como o termo geral não tende a zero, o teste da forma geral do termo implica que a série diverge.

Resposta

D (divergente)

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