Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
() \sum(-1)^{n+1} \frac{n^{3}}{1+n^{5}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{n^{3}}{1+n^{5}}
em divergente (D), condicionalmente convergente (CD) ou absolutamente convergente (AC). O conteúdo principal aqui é testar a convergência absoluta, usando comparação assintótica com uma série p-série.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, considere a série dos módulos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{n^{3}}{1+n^{5}}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{3}}{1+n^{5}}.
Como para n grande 1+n^5\approx n^5, o termo genérico se comporta como n^3/n^5 = 1/n^2. Logo, podemos aplicar o Teste da Comparação por Limite com a série \sum1/n^{2}, que sabemos convergir (pois p=2>1).

Passo 3

Calcule o limite de comparação:
L = \lim_{n\to\infty} \frac{\displaystyle \frac{n^{3}}{1+n^{5}}} {\displaystyle \frac{1}{n^{2}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{5}}{1+n^{5}} =1.
Como 0< L<\infty, a série \sum n^{3}/(1+n^{5}) e \sum1/n^{2} têm o mesmo comportamento. Logo \sum n^{3}/(1+n^{5}) converge.

Passo 4

Se a série dos módulos converge, então a série original converge absolutamente. Portanto não há só convergência condicional: ela é absolutamente convergente.

Resposta

AC

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