Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
()\sum(-1)^{n+1} \frac{n^{3}}{1+n^{5}}
em divergente (D), condicionalmente convergente (CD) ou absolutamente convergente (AC). O conteúdo principal aqui é testar a convergência absoluta, usando comparação assintótica com uma série p-série.
Passo 2
Para verificar convergência absoluta, considere a série dos módulos:
Como para n grande 1+n^5\approx n^5, o termo genérico se comporta como n^3/n^5 = 1/n^2. Logo, podemos aplicar o Teste da Comparação por Limite com a série \sum1/n^{2}, que sabemos convergir (pois p=2>1).
Passo 3
Calcule o limite de comparação:
L = \lim_{n\to\infty} \frac{\displaystyle \frac{n^{3}}{1+n^{5}}} {\displaystyle \frac{1}{n^{2}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{5}}{1+n^{5}} =1.
Como 0< L<\infty, a série \sum n^{3}/(1+n^{5}) e \sum1/n^{2} têm o mesmo comportamento. Logo \sum n^{3}/(1+n^{5}) converge.
Passo 4
Se a série dos módulos converge, então a série original converge absolutamente. Portanto não há só convergência condicional: ela é absolutamente convergente.