Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
( ) \sum(-1)^{n+1} \frac{\ln n}{\sqrt{n}}
como divergente (D), condicionalmente convergente (CD) ou absolutamente convergente (AC).
Para isso vamos usar o critério de Leibniz para séries alternantes e um teste (por exemplo, o teste da integral) para verificar se \sum_{n=1}^{\infty}\bigl|\tfrac{\ln n}{\sqrt{n}}\bigr| converge ou diverge.
Passo 2
Teste de convergência absoluta.
Considere a série das magnitudes dos termos:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{1/2}}.
Aplicamos o teste da integral, analisando
\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx.
Fazendo integração por partes com \displaystyle u=\ln x, \,dv=x^{-1/2}dx, obtém-se
Ao avaliar de 1 até +\infty, o termo dominante é \;2\sqrt{x}(\ln x-2)\to+\infty,
logo a integral diverge e, por consequência, \sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{\ln n}{n^{1/2}} diverge.
Isto mostra que a série não converge absolutamente.
Passo 3
Convergência condicional (critério de Leibniz).
Defina a_n=\tfrac{\ln n}{\sqrt{n}}. Primeiro,
que é negativa sempre que \ln x>2 (isto é, x>e^2).
Logo, para n suficiente, a_n é decrescente. Assim a série alternante satisfaz as hipóteses do critério de Leibniz e converge.