Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
( ) \sum(-1)^{n+1} \frac{\ln n}{\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{\ln n}{\sqrt{n}}
como divergente (D), condicionalmente convergente (CD) ou absolutamente convergente (AC).
Para isso vamos usar o critério de Leibniz para séries alternantes e um teste (por exemplo, o teste da integral) para verificar se \sum_{n=1}^{\infty}\bigl|\tfrac{\ln n}{\sqrt{n}}\bigr| converge ou diverge.

Passo 2

Teste de convergência absoluta.
Considere a série das magnitudes dos termos:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{1/2}}.
Aplicamos o teste da integral, analisando
\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx.
Fazendo integração por partes com \displaystyle u=\ln x, \,dv=x^{-1/2}dx, obtém-se
\int\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx =2\sqrt{x}\,\ln x-2\int x^{-1/2}\,dx =2\sqrt{x}\,\ln x-4\sqrt{x}+C.
Ao avaliar de 1 até +\infty, o termo dominante é \;2\sqrt{x}(\ln x-2)\to+\infty,
logo a integral diverge e, por consequência, \sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{\ln n}{n^{1/2}} diverge.
Isto mostra que a série não converge absolutamente.

Passo 3

Convergência condicional (critério de Leibniz).
Defina a_n=\tfrac{\ln n}{\sqrt{n}}. Primeiro,
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{\sqrt{n}}=0.
Depois, note que a função
f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}
tem derivada
f'(x) =\frac{1}{x\sqrt{x}}-\frac{\ln x}{2x^{3/2}} =\frac{2-\ln x}{2x^{3/2}},
que é negativa sempre que \ln x>2 (isto é, x>e^2).
Logo, para n suficiente, a_n é decrescente. Assim a série alternante satisfaz as hipóteses do critério de Leibniz e converge.

Resposta

(CD)

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