Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
( ) \sum(-1)^{n+1} \frac{n 2^{n}(n+1)!}{3^{n} n!}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{n\,2^{n}(n+1)!}{3^{n}\,n!}
como divergente (D), condicionalmente convergente (CD) ou absolutamente convergente (AC). Vamos usar teoria de séries alternantes, teste da razão e definição de convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral. Observando
\frac{(n+1)!}{n!} = n+1,
temos
a_n = (-1)^{n+1}\,\frac{n\,2^{n}(n+1)!}{3^{n}\,n!} = (-1)^{n+1}\,n\,(n+1)\,\frac{2^n}{3^n} = (-1)^{n+1}\,n\,(n+1)\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^n.

Passo 3

Para verificar convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|a_n\bigr| = \sum_{n=1}^{\infty}n\,(n+1)\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^n
e aplicamos o teste da razão. Defina
b_n = n\,(n+1)\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^n.
Então
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{(n+1)(n+2)\,(2/3)^{n+1}}{n(n+1)\,(2/3)^n} = \frac{n+2}{n}\cdot\frac{2}{3} \longrightarrow \frac{2}{3}\quad\text{quando }n\to\infty.
Como \tfrac{2}{3}<1, o teste da razão garante que \sum b_n converge.

Passo 4

Como \sum|a_n| converge, a série original converge absolutamente.

Resposta

(AC)

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