Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
() \sum(-1)^{n+1} \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}})

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}
como divergente (D), condicionalmente convergente (CD) ou absolutamente convergente (AC). O conteúdo principal é o teste de convergência de séries alternadas (teste de Leibniz) e o estudo da série de termos positivos para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Mostramos que os termos gerais positivos
a_n = \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}
são decrescentes e tendem a zero. Note que
a_n = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}
pois ao racionalizar temos
\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} =\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})} =\sqrt{n+1}-\sqrt{n}.
Como a sequência \bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr) é positiva, decresce com n (o denominador \sqrt{n}+\sqrt{n+1} cresce) e \lim_{n\to\infty}a_n=0, estão satisfeitas as hipóteses do teste de Leibniz.

Passo 3

Aplicando o teste de Leibniz, a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n
converge porque a_n>0, a_{n+1}<a_n e \lim_{n\to\infty}a_n=0. Logo, a série é convergente.

Passo 4

Para verificar convergência absoluta, estudamos
\sum_{n=1}^{\infty}a_n =\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr).
Essa soma telescopa: o k-ésimo termo cancela parte do termo k+1, restando
\sum_{n=1}^{N}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) =\sqrt{N+1}-\sqrt{1},
que diverge quando N\to\infty. Portanto \sum a_n diverge, ou seja, a série não é absolutamente convergente.

Resposta

(CD) condicionalmente convergente.

Exercícios relacionados