Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
() \sum(-1)^{n+1} \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}})
() \sum(-1)^{n+1} \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}})
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como divergente (D), condicionalmente convergente (CD) ou absolutamente convergente (AC). O conteúdo principal é o teste de convergência de séries alternadas (teste de Leibniz) e o estudo da série de termos positivos para verificar convergência absoluta.
Passo 2
Mostramos que os termos gerais positivos
são decrescentes e tendem a zero. Note que
pois ao racionalizar temos
Como a sequência
é positiva, decresce com
(o denominador
cresce) e
, estão satisfeitas as hipóteses do teste de Leibniz.
Passo 3
Aplicando o teste de Leibniz, a série alternada
converge porque
,
e
. Logo, a série é convergente.
Passo 4
Para verificar convergência absoluta, estudamos
Essa soma telescopa: o
-ésimo termo cancela parte do termo
, restando
que diverge quando
. Portanto
diverge, ou seja, a série não é absolutamente convergente.
Resposta
(CD) condicionalmente convergente.