Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente: \sum(-1)^{n+1} \frac{2^{n}}{n!}
Passo 1
O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2^{n}}{n!}
e pede que a classifiquemos em divergente (D), condicionalmente convergente (CD) ou absolutamente convergente (AC). Para isso, vamos primeiro verificar a convergência absoluta, pois se
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|a_{n}\bigr|
convergir, então a série original é absolutamente convergente.
Passo 2
Definindo a_{n}=(-1)^{n+1}\frac{2^{n}}{n!}, temos
\bigl|a_{n}\bigr|=\frac{2^{n}}{n!}.
Aplicamos o teste da razão a \bigl|a_{n}\bigr|:
L =\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} =\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^{n}/n!} =\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1} =0.