Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
\sum(-1)^{n+1} \frac{1}{n+\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{1}{n+\sqrt{n}}
como (D) divergente, (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente.
O conteúdo envolve teste de convergência absoluta e o critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta estudando
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|\;(-1)^{n+1}\,\frac{1}{n+\sqrt{n}}\biggr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}.
Como para n\ge1 vale \sqrt{n}\le n, temos
n+\sqrt{n}\le n+n=2n \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{n+\sqrt{n}}\ge\frac{1}{2n}.
Mas \sum1/(2n) diverge (é múltiplo da série harmônica), logo por comparação a série dos módulos também diverge. Portanto não há convergência absoluta.

Passo 3

Agora aplicamos o critério de Leibniz (série alternada). Definimos
a_n = \frac{1}{n+\sqrt{n}}.
  1. a_n>0 para todo n.
  2. \lim_{n\to\infty}a_n = 0, pois n+\sqrt{n}\to\infty.
  3. A sequência a_n é decrescente para n grande, já que a função f(x)=1/(x+\sqrt{x}) tem derivada negativa em x>0.
Essas três condições garantem que a série alternada \sum(-1)^{n+1}a_n converge.

Resposta

(CD)

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