Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
\sum(-1)^{n+1} \frac{1}{\ln (n+2)}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{\ln(n+2)}
como (D) divergente, (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente. O conteúdo envolve dois testes principais:
  1. teste de convergência absoluta (ver se \sum |a_n| converge)
  2. teste de séries alternantes (critério de Leibniz)

Passo 2

Para a convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\;(-1)^{n+1}\frac{1}{\ln(n+2)}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(n+2)}.
Aplicamos o teste da integral: seja f(x)=1/\ln(x+2), positiva, contínua e decrescente para x grande. Então
\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\ln(x+2)}
é a integral logarítmica deslocada, conhecida por divergir (pois \int^{\infty}dx/\ln x diverge). Logo a série \sum 1/\ln(n+2) diverge, e não há convergência absoluta.

Passo 3

Para verificar convergência condicional pela série alternante, note que os termos
b_n = \frac{1}{\ln(n+2)}
são positivos, monotonicamente decrescentes (já que \ln(n+2) cresce) e satisfazem
\lim_{n\to\infty}b_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln(n+2)} = 0.
Pelo critério de Leibniz, a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n
converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente (CD).

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