Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente: \sum(-1)^{n+1} \frac{n^{3}}{1+n^{5}}
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{n^{3}}{1+n^{5}}
como divergente (D), condicionalmente convergente (CD) ou absolutamente convergente (AC).
O conteúdo principal envolve o teste da série alternante (Leibniz) e o teste de comparação para a série de termos positivos (para verificar convergência absoluta).
Monotonicidade eventual de a_{n}: para n grande, a_{n+1}<a_{n} (pois o denominador cresce mais rápido que o numerador).
Como \{a_{n}\} é positiva, decrescente (eventualmente) e tende a zero, a série alternante converge pelo teste de Leibniz.
Como \sum1/n^{2} é convergente (p-série com p=2>1), pelo teste da comparação a série de termos positivos converge. Portanto a série original é absolutamente convergente.