Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
\sum(-1)^{n+1} \frac{n 2^{n}(n+1)!}{3^{n} n!}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n\,2^{n}(n+1)!}{3^{n}n!}
em divergente (D), condicionalmente convergente (CD) ou absolutamente convergente (AC). Vamos usar o teste da convergência absoluta (ratião) para decidir.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral. Como
\frac{(n+1)!}{n!}=n+1,
temos
u_n = (-1)^{n+1}\frac{n\,2^{n}(n+1)!}{3^{n}n!} = (-1)^{n+1}\,n(n+1)\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Para verificar convergência absoluta, estudamos
a_n = |u_n| = n(n+1)\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{n}.
Aplicamos o Teste da Razão:
a_{n+1} = (n+1)(n+2)\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{n+1},
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)(n+2)\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n+1}} {n(n+1)\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}} = \frac{n+2}{n}\,\frac{2}{3} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;\frac{2}{3}<1.
Como o limite da razão é menor que 1, a série \sum a_n converge.

Passo 4

Convergência absoluta implica convergência da série original. Portanto a série é absolutamente convergente.

Resposta

(AC)

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