Classifique cada uma das séries abaixo em (D) divergente ou (CD) condicionalmente convergente ou (AC) absolutamente convergente:
\sum(-1)^{n+1} \frac{\ln n}{n-\ln n}

Passo 1

O enunciado pede a classificação da série
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{\ln n}{\,n-\ln n\,}
em divergente (D), condicionalmente convergente (CD) ou absolutamente convergente (AC).
Conteúdo: testes de convergência de séries alternantes (critérios de Leibniz) e teste de convergência absoluta (comparação assintótica).

Passo 2

Defina
a_n = \frac{\ln n}{\,n-\ln n\,},
de modo que a série é alternante com termos (-1)^{n+1}a_n.
  1. Limite dos termos:
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n-\ln n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}\,(\text{pois }n-\ln n\sim n) =0.
  1. Monotonicidade: considere a função contínua
f(x)=\frac{\ln x}{\,x-\ln x\,},\quad x>e.
Derivando, obtemos
f'(x) =\frac{\frac1x\,(x-\ln x)-\ln x\bigl(1-\frac1x\bigr)}{(\,x-\ln x\,)^2} =\frac{1-\ln x}{(\,x-\ln x\,)^2},
que é negativa para x>e. Logo (a_n) é decrescente para n\ge3.

Passo 3

Pelo critério de Leibniz (série alternante, termos positivos decrescentes a zero), a série \sum(-1)^{n+1}a_n
converge.

Passo 4

Para verificar convergência absoluta, considere
\sum_{n=2}^{\infty}a_n =\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{\,n-\ln n\,}.
Como n-\ln n\sim n, temos
\frac{\ln n}{\,n-\ln n\,}\sim\frac{\ln n}{n},
e sabe–se que \sum\frac{\ln n}{n}
diverge (por integral teste, pois \int \ln x/x\,dx=(\ln x)^2/2 diverge).
Logo \sum a_n diverge, isto é, não há convergência absoluta.

Resposta

(CD)

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