Classifique cada sistema linear seguinte. Se possível determine o conjunto solução de cada sistema.
(e) \left\{\begin{aligned} x+y & -w=0 \\\\ 2 x-3 y+w & =0 \\\ z+2 w & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema linear e, se possível, encontrar seu conjunto solução. Temos quatro incógnitas x,y,z,w e três equações, então vamos usar eliminação por substituição para ver se o sistema é compatível e determinar suas soluções.

Passo 2

Da primeira equação
x + y - w = 0
podemos isolar x:
x = w - y.

Passo 3

Substituindo x = w - y na segunda equação
2x - 3y + w = 0
obtemos
2(w - y) - 3y + w = 0
que simplifica para
2w - 2y -3y + w = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3w - 5y = 0.
Logo
y = \frac{3}{5}\,w.

Passo 4

Com y = \tfrac{3}{5}w, voltamos a x = w - y e achamos
x = w - \frac{3}{5}w = \frac{2}{5}w.

Passo 5

A terceira equação é
z + 2w = 0,
logo
z = -2w.

Passo 6

Como w não está fixado por nenhuma equação, podemos tomar w = t\in\mathbb{R} como parâmetro livre. Assim a solução geral é
(x,y,z,w) = \Bigl(\tfrac{2}{5}t,\;\tfrac{3}{5}t,\;-2t,\;t\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

Passo 7

O sistema admite infinitas soluções (há um grau de liberdade), portanto é possível indeterminado.

Resposta

O sistema é possível indeterminado.
O conjunto solução é
\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid (x,y,z,w) = t\bigl(\tfrac{2}{5},\tfrac{3}{5},-2,1\bigr),\;t\in\mathbb{R}\}.

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