Classifique cada sistema linear seguinte. Se possível determine o conjunto solução de cada sistema.
(d) \left\{\begin{aligned} x+y & +w=0 \\\ x+z+w & =2 \\\ y+z-w & =-3 \\\ x+y & -2 w=1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear com quatro incógnitas x,y,z,w e quatro equações:
\begin{cases} x+y+w=0,\\\ x+z+w=2,\\\ y+z-w=-3,\\\ x+y-2w=1. \end{cases}
O objetivo é classificar o sistema (se é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível) e, sendo possível, encontrar o conjunto-solução. Para isso, usaremos eliminação de Gauss e operações entre equações.

Passo 2

Observe as equações
(1)\;x+y+w=0 \quad\text{e}\quad (4)\;x+y-2w=1.
Subtraindo a equação (4) da (1) temos
(x+y+w)-(x+y-2w)=0-1 \quad\Longrightarrow\quad 3w=-1 \quad\Longrightarrow\quad w=-\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Substitua w=-\tfrac{1}{3} em (1), (2) e (3):
da (1) vem
x+y = -w = \tfrac{1}{3},
da (2)
x+z - \tfrac{1}{3}=2 \quad\Longrightarrow\quad x+z = \tfrac{7}{3},
da (3)
y+z -\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)=-3 \quad\Longrightarrow\quad y+z = -\tfrac{10}{3}.
Agora o sistema reduzido é
\begin{cases} x+y = \tfrac{1}{3},\\\ x+z = \tfrac{7}{3},\\\ y+z = -\tfrac{10}{3}. \end{cases}

Passo 4

Para resolver, subtraia a terceira equação da segunda:
(x+z)-(y+z)=\tfrac{7}{3}-\bigl(-\tfrac{10}{3}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad x-y=\tfrac{17}{3}.
Agora temos o par
\begin{cases} x+y=\tfrac{1}{3},\\\ x-y=\tfrac{17}{3}. \end{cases}
Somando as duas:
2x = \tfrac{18}{3}=6 \quad\Longrightarrow\quad x=3.
Substituindo em x+y=\tfrac{1}{3}:
3 + y = \tfrac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad y=-\tfrac{8}{3}.
Finalmente, em x+z=\tfrac{7}{3}:
3+z=\tfrac{7}{3} \quad\Longrightarrow\quad z=-\tfrac{2}{3}.

Passo 5

Reunindo, obtemos
x=3,\quad y=-\tfrac{8}{3},\quad z=-\tfrac{2}{3},\quad w=-\tfrac{1}{3}.
Como há exatamente uma solução, o sistema é possível e determinado.

Resposta

O sistema é possível e determinado e seu conjunto-solução é
\{(x,y,z,w)\} = \Bigl(3,\,-\tfrac{8}{3},\,-\tfrac{2}{3},\,-\tfrac{1}{3}\Bigr).

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