Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
j) em .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto composto por quatro polinômios de segundo grau:
O objetivo é determinar se esse conjunto é Linearmente Independente (L.I.) ou Linearmente Dependente (L.D.) no espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais.
Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de combinação linear. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no caso) é Linearmente Independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.
Passo 2
Vamos considerar uma combinação linear dos polinômios do conjunto igual a zero:
Nosso objetivo é encontrar se existem valores , não todos zero, que satisfaçam essa equação.
Passo 3
Primeiro, vamos expandir a combinação linear:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 4
Para que essa equação seja igual a zero para todo , os coeficientes de , e o termo constante devem ser iguais a zero. Assim, temos o sistema de equações:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos representar o sistema em forma matricial:
[ 1 & -1 & -3 & 3 3 & -1 & 2 & 1 1 & 2 & 1 & -2 a b c d = 0 0 0
]
Como temos mais variáveis do que equações, é provável que exista uma infinidade de soluções, indicando que os polinômios são linearmente dependentes. Para confirmar, podemos tentar resolver o sistema.
Passo 6
Vamos usar o método da eliminação para resolver o sistema:
Da primeira equação:
a = b + 3c - 3d
Substituindo 3(b + 3c - 3d) - b + 2c + d = 0 (b + 3c - 3d) + 2b + c - 2d = 0 nas demais equações:
3b + 9c - 9d - b + 2c + d = 0 Rightarrow 2b + 11c - 8d = 0 b + 3c - 3d + 2b + c - 2d = 0 Rightarrow 3b + 4c - 5d = 0
Simplificando:
2b + 11c - 8d = 0 3b + 4c - 5d = 0
Agora temos:
Podemos resolver esse sistema para encontrar relações entre e , mostrando que existe uma solução não trivial.
Passo 7
Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 2 para eliminar 6b + 33c - 24d = 0 6b + 8c - 10d = 0 :