Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
j) J=x^2+3 x+1,-x^2-x+2,-3 x^2+2 x+1,3 x^2+x-2 em P2(R).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto J = x^2+3x+1, -x^2-x+2, -3x^2+2x+1, 3x^2+x-2 composto por quatro polinômios de segundo grau:
O objetivo é determinar se esse conjunto é Linearmente Independente (L.I.) ou Linearmente Dependente (L.D.) no espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais.
Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de combinação linear. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no caso) é Linearmente Independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.

Passo 2

Vamos considerar uma combinação linear dos polinômios do conjunto a(x^2+3x+1) + b(-x^2-x+2) + c(-3x^2+2x+1) + d(3x^2+x-2) = 0 igual a zero:
Nosso objetivo é encontrar se existem valores , não todos zero, que satisfaçam essa equação.

Passo 3

Primeiro, vamos expandir a combinação linear:
a x^2 + 3a x + a - b x^2 - b x + 2b - 3c x^2 + 2c x + c + 3d x^2 + d x - 2d = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(a - b - 3c + 3d) x^2 + (3a - b + 2c + d) x + (a + 2b + c - 2d) = 0

Passo 4

Para que essa equação seja igual a zero para todo a - b - 3c + 3d = 0 3a - b + 2c + d = 0 a + 2b + c - 2d = 0 , os coeficientes de , e o termo constante devem ser iguais a zero. Assim, temos o sistema de equações:

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos representar o sistema em forma matricial:
[
1 & -1 & -3 & 3 3 & -1 & 2 & 1 1 & 2 & 1 & -2 a b c d = 0 0 0


]
Como temos mais variáveis do que equações, é provável que exista uma infinidade de soluções, indicando que os polinômios são linearmente dependentes. Para confirmar, podemos tentar resolver o sistema.

Passo 6

Vamos usar o método da eliminação para resolver o sistema:
Da primeira equação:
a = b + 3c - 3d
Substituindo 3(b + 3c - 3d) - b + 2c + d = 0 (b + 3c - 3d) + 2b + c - 2d = 0 nas demais equações:
3b + 9c - 9d - b + 2c + d = 0 Rightarrow 2b + 11c - 8d = 0 b + 3c - 3d + 2b + c - 2d = 0 Rightarrow 3b + 4c - 5d = 0
Simplificando:
2b + 11c - 8d = 0 3b + 4c - 5d = 0
Agora temos:
Podemos resolver esse sistema para encontrar relações entre e , mostrando que existe uma solução não trivial.

Passo 7

Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 2 para eliminar 6b + 33c - 24d = 0 6b + 8c - 10d = 0 :
(6b + 33c - 24d) - (6b + 8c - 10d) = 0 Rightarrow 25c - 14d = 0 Rightarrow c = 1425d
Subtraindo as equações:
3b + 4(1425d) - 5d = 0 Rightarrow 3b + 5625d - 5d = 0 Rightarrow 3b - 6925d = 0 Rightarrow b = 2325d
Substituindo a = 2325d + 3(1425d) - 3d = 2325d + 4225d - 3d = 6525d - 3d = 65 - 7525d = -1025d = -25d na segunda equação:
E substituindo e na expressão de :
Isso mostra que existe uma solução não trivial para o sistema (por exemplo, ), o que confirma que os polinômios são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto é Linearmente Dependente (L.D.) em .

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