Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
b) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente classificar o conjunto como linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre combinações lineares e independência de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa esses termos e como aplicar isso aos vetores dados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são vetores linearmente independentes e linearmente dependentes. Basicamente:
Linearmente Independentes (LI): Um conjunto de vetores é LI se nenhum vetor do conjunto puder ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, a única solução para a equação é quando todos os coeficientes são zero.
Linearmente Dependentes (LD): Se pelo menos um vetor do conjunto puder ser escrito como uma combinação linear dos outros, então os vetores são LD. Significa que existe uma solução não trivial (onde pelo menos um coeficiente não é zero) para a equação .
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso conjunto . Vamos chamar os vetores de e .
Queremos ver se existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor zero , onde pelo menos um dos coeficientes não é zero. Em outras palavras, queremos resolver a equação:
Isso dá o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Da primeira equação:
c1 - c2 = 0 implies c1 = c2
Da segunda equação:
- c1 + c2 = 0 implies -c1 + c1 = 0 implies 0 = 0
Isso não nos fornece uma nova informação.
Da terceira equação:
c1 + c2 = 0
Substituindo c1 + c1 = 0 implies 2c1 = 0 implies c1 = 0 da primeira equação:
E, consequentemente, .
Passo 5
Então, a única solução para o sistema é e . Isso significa que a única combinação linear que resulta no vetor zero é a trivial, onde todos os coeficientes são zero.