Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D. E=1-x+2 x^2, x-x^2, x^2 em P2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto é linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.) no espaço , que são todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser linearmente independente ou dependente e usar um sistema de equações para descobrir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) ser linearmente independente. Isso quer dizer que a única combinação linear que dá o zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que dá zero, o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Então, vamos montar a combinação linear dos polinômios do conjunto a(1 - x + 2x^2) + b(x - x^2) + c(x^2) = 0 igual a zero:
Onde , e são números reais que precisamos encontrar.

Passo 4

Agora, vamos expandir essa expressão:
a cdot 1 + a cdot (-x) + a cdot 2x^2 + b cdot x + b cdot (-x^2) + c cdot x^2 = 0
Simplificando:
a + (-a + b) x + (2a - b + c) x^2 = 0

Passo 5

Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de a = 0 -a + b = 0 2a - b + c = 0 , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da primeira equação, já sabemos que .
  2. Substituindo na segunda equação: => .
  3. Substituindo e na terceira equação: => .

Passo 7

Encontramos que a única solução do sistema é , e . Isso significa que a única combinação linear que dá zero é a trivial, onde todos os coeficientes são zero.

Resposta

O conjunto é linearmente independente no espaço .

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