Considere os vetores
e
. Se
e
, prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que os subconjuntos gerados pelos vetores
e
são iguais. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços gerados e combinatórias lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar um vetor como combinação linear de outros vetores e verificar se os geradores de um conjunto estão no outro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
. Isso quer dizer que todo vetor que pode ser gerado por
também pode ser gerado por
, e vice-versa. Então, vamos mostrar que cada vetor de um conjunto está contido no outro.
Passo 3
Vamos começar mostrando que os vetores
e
estão em
. Ou seja, precisamos encontrar coeficientes
tais que:
Vamos resolver essas equações para encontrar os coeficientes.
Passo 4
Para
:
Resolvendo esse sistema, podemos usar métodos como substituição ou eliminação. Após resolver, encontramos que:
Isso mostra que
está em
.
Passo 5
Agora, para
:
Ao resolver esse sistema, descobrimos que:
Portanto,
também está em
.
Passo 6
Agora que mostramos que
e
pertencem a
, temos que
. Mas precisamos provar o contrário também: que
.
Passo 7
Vamos verificar se os vetores
podem ser expressos como combinações lineares de
e
.
Primeiro, já sabemos que
(do Passo 4).
Passo 8
Para
, queremos encontrar coeficientes
tais que:
Substituindo:
Resolvendo o sistema, encontramos:
Então,
está em
.
Passo 9
Finalmente, para
, precisamos de
tais que:
Ou seja:
Resolvendo, achamos:
Assim,
também está em
.
Passo 10
Como mostramos que todos os vetores que geram
estão em
, temos que
. Já vimos anteriormente que
, então conclui-se que
.
Resposta
Portanto,
.