Classifique as EDPs abaixo como elípticas, parabólicas ou hiperbólicas.
u_{x x}+2 u_{x y}+u_{y y}=0

Passo 1

O enunciado pede: classificar a equação
u_{x x}+2 u_{x y}+u_{y y}=0
como elíptica, parabólica ou hiperbólica.
As informações dadas (os coeficientes da parte de segunda ordem) são:
  • coeficiente de u_{x x}: a=1,
  • coeficiente de u_{x y} escrito na forma 2b: 2b=2, logo b=1,
  • coeficiente de u_{y y}: c=1.

Passo 2

Regra de classificação (explicação didática):
  • Para uma EDP linear de segunda ordem em duas variáveis na forma
a\,u_{xx}+2b\,u_{xy}+c\,u_{yy}+\text{(ordem inferior)}=0,
define-se o discriminante
\Delta = b^{2}-ac.
  • Interpretação intuitiva: a parte de segunda ordem corresponde a uma forma quadrática em (\xi,\eta), a\xi^{2}+2b\xi\eta+c\eta^{2}; o sinal de \Delta decide se essa forma é definida, degenerada ou de sinal trocado, e isso dá a classificação:
    • se \Delta<0 a equação é elíptica;
    • se \Delta=0 a equação é parabólica;
    • se \Delta>0 a equação é hiperbólica.
  • Outra maneira (características): as direções características vêm da equação
a\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}-2b\left(\frac{dy}{dx}\right)+c=0.
O número e a natureza das raízes dessa equação (duas distintas, uma dupla ou complexas) correspondem respectivamente a hiperbólica, parabólica ou elíptica.

Passo 3

Aplicando a regra aos coeficientes do problema:
a=1,\qquad b=1,\qquad c=1.
Calcule o discriminante:
\Delta = b^{2}-ac = 1^{2}-1\cdot 1 = 1-1 = 0.
Como \Delta=0, pela regra acima a equação é parabólica.

Passo 4

Para fixar a ideia: mostrar a forma canônica (isto ajuda a ver o porquê do caso \Delta=0). Observe que a parte de segunda ordem pode ser escrita como um quadrado diferencial:
u_{xx}+2u_{xy}+u_{yy}=(\partial_x+\partial_y)^{2}u.
Faça a mudança de variáveis
s=x+y,\qquad t=x-y.
Pelo cálculo das derivadas (regra da cadeia) tem-se
\partial_x=\partial_s+\partial_t,\qquad \partial_y=\partial_s-\partial_t,
então
\partial_x+\partial_y=2\partial_s.
Logo a equação original vira
(\partial_x+\partial_y)^{2}u = 4\,u_{ss}=0,
ou seja
u_{ss}=0.
Isso mostra que há apenas derivada segunda numa única direção ( s), característica de uma equação parabólica (a direção característica é repetida).

Passo 5

Resumo didático e motivador: a classificação por \Delta é a ferramenta padrão — calcule os coeficientes a,b,c, calcule \Delta=b^{2}-ac e compare com zero. Aqui deu \Delta=0, e a equação se reduz, por mudança de variáveis, a u_{ss}=0, mostrando a presença de uma única direção de segunda derivada (caso degenerado), típico de equações parabólicas. Exemplos familiares: a equação do calor é parabólica; a de Laplace é elíptica; a da onda é hiperbólica. Força aí — você já entendeu a ideia e sabia manipular num instante na prova!

Resposta

Parabólica.

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