Classifique as EDPs abaixo como elípticas, parabólicas ou hiperbólicas.
Passo 1
O enunciado pede: classificar a equação
como elíptica, parabólica ou hiperbólica.
As informações dadas (os coeficientes da parte de segunda ordem) são:
As informações dadas (os coeficientes da parte de segunda ordem) são:
- coeficiente de
: , - coeficiente de
escrito na forma : , logo , - coeficiente de
: .
Passo 2
Regra de classificação (explicação didática):
- Para uma EDP linear de segunda ordem em duas variáveis na forma
define-se o discriminante
- Interpretação intuitiva: a parte de segunda ordem corresponde a uma forma quadrática em
, ; o sinal de decide se essa forma é definida, degenerada ou de sinal trocado, e isso dá a classificação: - se
a equação é elíptica; - se
a equação é parabólica; - se
a equação é hiperbólica.
- se
- Outra maneira (características): as direções características vêm da equação
O número e a natureza das raízes dessa equação (duas distintas, uma dupla ou complexas) correspondem respectivamente a hiperbólica, parabólica ou elíptica.
Passo 3
Aplicando a regra aos coeficientes do problema:
Calcule o discriminante:
Como
, pela regra acima a equação é parabólica.
Passo 4
Para fixar a ideia: mostrar a forma canônica (isto ajuda a ver o porquê do caso
). Observe que a parte de segunda ordem pode ser escrita como um quadrado diferencial:
Faça a mudança de variáveis
Pelo cálculo das derivadas (regra da cadeia) tem-se
então
Logo a equação original vira
ou seja
Isso mostra que há apenas derivada segunda numa única direção (
), característica de uma equação parabólica (a direção característica é repetida).
Passo 5
Resumo didático e motivador: a classificação por
é a ferramenta padrão — calcule os coeficientes
, calcule
e compare com zero. Aqui deu
, e a equação se reduz, por mudança de variáveis, a
, mostrando a presença de uma única direção de segunda derivada (caso degenerado), típico de equações parabólicas. Exemplos familiares: a equação do calor é parabólica; a de Laplace é elíptica; a da onda é hiperbólica. Força aí — você já entendeu a ideia e sabia manipular num instante na prova!
Resposta
Parabólica.